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X
Abbiamo bisogno di calcolare il limite, con x che tende ad infinito, di 4x
quadro meno 5x, tutto fratto 1 meno 3x quadro
In numero infinito è un pò strano,
non si può semplicemente inserirlo in una funzione e vedere cosa succede
ma se volessimo calcolare questio limite, possiamo provare
semplicemente a valutare questo scenario: se vogliamo trovare il limite man mano che
il numeratore si avvicina all'infinito, possiamo inserire nella funzione numeri molto grandi.
ecco, e vedremo che il limite si avvicina all'infinito.
Vedremo che il numeratore si avvicina ad infinito mentre
x si avvicina ad infinito.
e se inseriamo un numero veramente grande al denominatore
vedreamo che anche.. beh
non proprio infinito
3x^2 si avvicina all'inifito,
ma lo stiamo sottraendo
...
se sottrai infito da un numero non-infinito,
otteniamo infinito negativo
quindi se stiamo solo valutandolo a infinito
il numeratore, otterresti un infinito positivo
al denominatore, otterresti un infinito negativo.
Quindi scriviamo così.
Infinito negativo.
E questa è una delle forme indeterminate.
a cui si può applicare la regola de L'Hopital.
e forse vi starete chiedendo, Hey Sal, perchè ci stiamo
mettendo ad usare la legge di L'Hopital!?
Sono in grado di risolvere senza L'Hopital.
E probabilmente siete in grado, o almeno, dovreste esserlo.
E lo faremo in un secondo.
Ma volevo solo far vedere come la Regola L'Hopital
funzioni anche in questo tipo di problemi, e volevo mostrare
un esempio che avesse le forme indeterminate
con infinito fratto meno infinito o più infinito.
ma applicchiamo la regola di L'Hopital.
Se il limite esiste, o il limite delle loro derivate esiste,
allora tale limite sarà uguale al limite man mano x
si avvicina all'infinito della derivata del numeratore.
quindi la derivata del denominatore è- la derivata di
4x quadro è 8x, meno 5 fratto-- la derivata del denominatore
che è-- beh, la derivata di 1 è 0.
la derivata di meno 3x è -6x quadro
e di nuovo, quando stai valutando l 'infinito, il
numeratore sarà quello che si avvicina all'infinito.
e il denominatore invece si avvicina a meno infinito.
meno sei per infinito è uguale a meno infinito.
quindi questo è meno infinito.
Quindi applicchiamo la regola de L'Hopital.
quindi se il limite della derivata di questi esiste,
o la funzione razionale della derivata di questo diviso
la derivata di quello- se ciò esiste, allora questo
limite sarà uguale al limite man mano che x si avvicina
a infinito o - cambio colore- derivativo
di 8x meno 5 è solo 8
la derivata di meno 6x è 6
e questo sarà solo- solo una costante
quindi non importa quale limite tu stia approcciando,
questo sarà solo uguale a questo valore.
che è uguale a ?
se mettiamo il minimo comunie multiplo, o in forma semplificata
è meno 4/3
...
quindi questo limite esiste
questa era una forma ndeterminata
e il limite della derivata di questa funzione diviso
quest'altre funzione esiste, quindi questo limite deve necessariamente
essere uguale a 4/3
e seguendo la stessa logica, quel limite dovrà pure essere
eguale a meno 4/3
e per quelli di voi che dicono "hey questo lo spaevamo
già fare!
possiamo semplicemnte raggruppare per x quadro."
beh, avete assolutamente ragione
e ve lo dimostro subito
solo per dimostrarvi, beh, sapete,
che L'Hopital non è l'unicoo modo di ragionare!
e francamente, di fronte a questo tipo di problema, la mia prima reazione
probabilmente non sarebbe di usare L'Hopital
avreste potuto dire che questo primo limite-- così che il limite - allora il lim per x
che tende a infinito di 4x quadro meno 5x tutto fratto 1 meno
3x quadro è uguale al limite di x che tende a infinito
--disegno una linea per farvi vedere che questo è uguale a
questo, non a questa parte qui.
quindi, è uguale al limite per x che tende a infinito
raggruppiamo fuori dalla tonda un x quadro nel numeratore
e al denominatore
quindi abbiamo un x quadro per 4 meno 5 diviso x
giusto? x quadro per 5 fratto x sarà uguale a 5x
diviso per -- raggruppiamo una x nel numeratore
quindi x quadro per 1 fratto x quadro meno 3
e poi semplifichiamo queste x quadro.
quindi il limite sarà uguale al lim per x che tende
a infinito di 4 meno 5 su x fratto 1 diviso x quadro meno 3
e questo sarà eguale a...?
beh, per x che tende ad infinito--- 5 diviso per
infinito--- risulterà zero.
con un denominatore mille migliaia di volte più grande,
questo risulterà essere zero.
questo tendera a zero.
stesso ragionamento..
questo qui tenderà a zero
e tutto ciò che ci rimane è 4 e - 3
...
quindi questo sarà uguale a meno, o meglio, 4 fratto
meno 3, che è come dire meno 4/3
quindi non si deve per forza usare L'Hopital
per questo problema