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Vediamo se possiamo imparare una cosa o due circa il
raccoglimento parziale della frazione, o a volte viene chiamato scomposizione
parziale della frazione.
Scomposizione Parziale della Frazione.
L'idea è di prendere funzioni razionali --- e una
funzione razionale è solo una funzione o un'espressione dove
c'è una espressione che ne divide un'altra --- e essenzialmente
espanderle o scomporle in parti più semplici.
E la prima cosa che devi fare, prima di poter
cominciare il processo di espansione parziale della frazione, è
assicurarti che il numeratore abbia un grado inferiore
rispetto al denominatore.
Nella situazione, il problema, che ho scritto qui,
l'ho scritto qui, non è il caso.
Il numeratore ha lo stesso grado del denominatore.
Quindi il primo passo che vogliamo fare per semplificarlo e per arrivare
al punto in cui il numeratore ha un grado inferiore
del denominatore è fare un po' di
divisioni algebriche.
E ho fatto un video su questo, ma non fa mai male
dargli un'altra occhiata, quindi per farlo dividiamo il denominatore nel
numeratore per capire il resto, quindi dividiamo
x^2 - 3x - 40 nell' x^2 - 2x - 37.
Quindi, quante volte?
Guardi il termine di grado più alto, quindi x^2 sta
nell'x^2 una volta, una volta per tutta questa faccenda fa
x^2 - 3x - 40 e ora vuoi sottrarre questo da
questo per ottenere il resto.
E vedi, se sto sottraendo, quindi ora sottraggo, e poi
meno meno fa piu', piu', e poi li puoi sommare.
Questi si annullano.
-2x + 3x, fa x.
-37 + 40, fa +3.
Quindi questa espressione qui può essere riscritta come --- fammi scorrere
un po' verso il basso --- come 1 +
((x + 3) / (x^2 - 3x - 40))
Potrebbe sembrarti tipo una magia quello che ho appena fatto, ma
non è diverso da quello che hai fatto in quarta o quinta
elementare quando hai imparato come convertire le frazioni
improprie in numeri misti.
Fammi fare giusto un piccolo esempio qui di lato.
Se ho 13 / 2 e voglio trasformarlo in un numero misto
quello che --- magari lo sai fare a mente --- ma
quello che fai è dividere il denominatore nel numeratore
proprio come abbiamo fatto qui.
2 sta nel 13.
Vediamo 2 sta nel 13 sei volte, 2 * 6 fa 12,
sottrai quello da quello, ottieni un resto di 1.
2 nell'1 non ci sta, quindi questo è solo il resto.
Quindi se vuoi riscriverlo, sarebbe il numero di
volte in cui il denominatore va nel numeratore, che è 6, piu'
il resto sul denominatore.
+ 6 --- + 1 / 2.
E quando l'hai fatto alle elementari scrivevi
6 1/2, ma 6 1/2 è la stessa cosa di 6 + 1/2.
Che è esattamente la stessa cosa che abbiamo fatto qui.
Il denominatore è sta nel numeratore una volta e poi
c'era un resto di x + 3 , quindi è
1 + (x + 3) su questa espressione.
Ora vediamo che quel numeratore in questa espressione razionale
ha un grado inferiore rispetto al denominatore.
Il grado più alto qui è 1, il grado più alto qui è 2,
percio' siamo pronti ad iniziare la nostra scomposizione parziale della frazione.
E tutto ciò di cui si tratta è prendere questa espressione quassù e scomporla
in due espressioni più semplici dove i denominatori sono
fattori di questo termine inferiore.
Quindi dato cio', fattorizziamo questo termine inferiore.
Allora vediamo.
Quale coppia di numeri sommati danno -3 e moltiplicati
danno -40?
Allora vediamo.
Devono avere segni diversi, perché quando
li moltiplichi ottieni un negativo, quindi devono
essere -8 e +5.
Quindi puoi riscrivere questo qui come --- cambio colore ---
1 + (x + 3) / ((x + 5)(x - 8)).
5 * 8 = -40 ---- 5 * -8 fa -40 ,
5 - 8 = -3, quindi siamo a posto.
Ora mi concentro solo su questa parte.
Ce lo possiamo ricordare quell'1 sta
là davanti.
Questa è l'espressione che vogliamo scomporre o espandere.
E la scomporremo in due espressioni più semplici
dove ciascuno di questi sono il denominatore --- e farò
l'affermazione, e se i numeri funzionano allora l'affermazione è
vera --- farò l'affermazione che posso espandere questo, o scomporlo,
in due frazioni, dove la prima frazione è un
numero A sul primo fattore, su (x + 5), più un
numero B sul secondo fattore, su (x - 8).
Questa e' la mia affermazione e se riesco a risolvere A e B in modo
da finire cosi' avro' fatto e avro'
completamente scomposto questa frazione.
Penso sia il modo --- non so se questa sia la
terminologia corretta.
Quindi cerchiamo di farlo.
Quindi se dovessi sommare questi due termini, che cosa ottengo?
Quando sommi, trovi il denominatore comune e il
denominatore comune, il denominatore comune più semplice, è quando
moltiplichi i due denominatori, quindi fammelo scrivere qui.
Quindi (A / (x + 5)) + (B / (x - 8)) = ---
bene, calcoliamo il denominatore comune ---
= (x + 5)*(x - 8).
E poi il termine A, avremmo --- (A / (x + 5)) è come
(A * (x - 8)) su tutta questa faccenda.
Voglio dire, se scritto questo qui, annulli
questi due termini e ottieni (a / (x + 5))
E poi lo potresti sommare al denominatore comune,
(x+ 5) * (x - 8) e sarebbe B * (x + 5).
E ' importante rendersi conto, che, guarda.
Questo termine è esattamente la stessa cosa di questo termine se
annulli (x - 8), e questo termine è esattamente la stessa
cosa di questo termine se annulli (x + 5).
Ma ora che abbiamo un effettivo denominatore comune possiamo sommarli,
così otteniamo --- fammi scrivere il lato sinistro
qui su --- A / (x + 5) --- scusa.
Voglio scrivere questo qui.
Voglio scrivere (x + 3) / ((x + 5) * (x - 8)) =
uguale alla somma di queste due cose sulla parte superiore.
A * (x - 8) + B * (x + 5), tutto questo sul
loro denominatore comune, (x + 5) * (x - 8).
Quindi i denominatori sono gli stessi, quindi sappiamo che questo,
quando sommi questi devi arrivare a questo.
Quindi, se vogliamo risolvere A e B,
impostiamo quell'uguaglianza.
Possiamo ignorare i denominatori.
Percio' possiamo dire che x + 3 = A * (x - 8) +
B * (x + 5).
Ora, ci sono due modi per risolvere A e B
da questo punto in poi.
Uno è il modo in cui mi è stato insegnato in seconda
o terza media, che tende ad essere un po' più lungo, poi
c'è un modo veloce per farlo e non fa mai male
farlo prima nel modo veloce.
Se vuoi risolvere A peschiamo una x che
faccia scomparire questo termine.
Quindi quale x farebbe scomparire questo termine?
Beh, se dico che x è -5 questo diventa 0 e
la B scompare.
Quindi se diciamo che x è -5 --- sto solo scegliendo una x arbitraria
per essere in grado di risolvere questo --- questo diventa
-5 + 3 --- fammelo scrivere, -5 + 3 ---
= A * (-5 - 8) --- fammelo scrivere,
(- 5 - 8) --- + B * (-5 + 5).
E ho scelto il -5 per rendere questa espressione 0.
Quindi ottieni --- prendo un colore più luminoso ---
-5 + 3 fa -2, = --- quanto quant'e'?
-13a + --- questo è 0, giusto?
Questo è 0.
- 5 + 5 = 0, 0 * B = 0, e poi dividi entrambi
i lati per -13, ottieni --- i negativi si annullano --- ottieni
2 / 13 = A, e ora possiamo fare la stessa cosa
qui e liberarci del termine A rendendo x = 8.
Se x = 8 ottieni x + 3 = 11, =
A * 0 + B * --- quant'è 5 --- 8 + 5 fa ---
+ B * 13.
Questa B assomiglia un po' al 13.
E poi ottieni 11 = 13B, dividi entrambi i lati per 13,
ottieni B = 11 / 13.
Quindi siamo stati in grado di risolvere le A e le B.
E così possiamo tornare alla nostra equazione originale
e potremmo dire, wow.
Questo deve essere semplicemente uguale a 2/13 e questo deve
essere semplicemente uguale a 11/13.
Così la nostro cosa all'inizio, la cosa che abbiamo scritto proprio all'inizio
può essere scomposta in 1, che è questo 1 qui
piu' questo, che è 2 / 13 --- per ora lo scrivo cosi' ---
2/13, su x + 5.
Potresti portare il 13 qui sotto se vuoi scriverlo
senza avere una frazione sopra una frazione.
Più 11/13 per --- su (x - 8).
E di nuovo, puoi portare giu' il 13 così non hai
una frazione sopra una frazione.
Ma noi l'abbiamo scomposto bene con successo ---
non voglio dire che l'abbiamo necessariamente semplificato
perché potresti dire, oh, qui abbiamo solo un'espressione,
ora ho tre --- ma ho ridotto il grado dei
numeratori e dei denominatori.
E potresti dire: beh, Sal, perché mai dovrei
fare una cosa del genere?
E hai ragione.
Nell'algebra probabilmente non lo fai.
Ma questa è in realtà una tecnica davvero utile più tardi quando
arrivi a Calcolo e in realtà, alle equazioni differenziali,
perché un sacco di volte è più facile ---
e butto la' una parola che non capisci --- prendere
l'integrale o la primitiva di
una cosa cosi', piuttosto che qualcosa del genere.
E più tardi, quando fai la trasformata di Laplace e
le equazioni differenziali, è molto più facile prendere un' inversa
trasformata di Laplace di qualcosa di simile rispetto
a qualcosa di simile.
Quindi, ad ogni modo, spero di averti dato un altro arsenale ---
o un'altra arma nel tuo arsenale, e magari farò un
paio di video più, perché noi non abbiamo esaurito tutti gli
esempi possibili che potremmo mostrare per
la scomposizione parziale di una frazione.