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Ora che, si spera, abbiamo ottenuto una comprensione decente del
teorema dei carabinieri, lo useremo per dimostrare che il limite - lo
faccio in giallo - il limite per x che tende a 0 di seno di
x su x è uguale a 1.
E ormai dovresti essere straboccante di aspettativa, perché
l'ho detto un milione di volte.
Allora, facciamolo, e in realtà dobbiamo - ovviamente,
abbiamo la nostra trigonometria - e in realta' è una dimostrazione grafica.
Allora, fammi disegnare almeno il primo e il quarto quadrante
della circonferenza unitaria.
Lo faccio in magenta.
Vediamo, vediamo se posso - dovrei
farlo abbastanza grande.
Vediamo.
Dovrei disegnarlo bello grande.
Lo farò più o meno così.
Ok, è grande abbastanza.
E ora gli assi.
Questo è l'asse x, dovrebbe assomigliare a questo.
Scusa, questo è l'asse y.
Ecco qua.
E poi c'è l'asse x, qualcosa tipo questo.
Questa è la nostra circonferenza unitaria.
Eccola qui.
Ora fammi disegnare un paio di altre cose.
Disegno un - beh, questo è un raggio, ma lo faccio
andare oltre la circonferenza.
Facciamolo arrivare fino a qui.
Disegno un paio di altre cose, giusto per preparare questo problema.
No, non è quello che volevo fare.
Volevo farlo partire da questo punto.
Proprio così.
E poi da questo punto, faccio quest'altra linea.
E poi voglio disegnarne un'altra da quel punto.
Faccio cosi'.
E ora siamo pronti per partire.
Allora, cosa ho appena detto?
Questa è la circonferenza unitaria, giusto?
Quindi, se questa è la circonferenza unitaria, cosa significa?
Che è una circonferenza con raggio 1.
Quindi la distanza da qui a qui misura 1.
E se questo è un angolo x in radianti, quanto misura
questa retta qui?
Qual'è la sua lunghezza?
Beh, per definizione, seno di x e' definito come
la coordinata y di ogni punto sulla circonferenza unitaria.
Quindi questo è il seno di x.
Sto finendo lo spazio, perciò faccio una freccia.
Quindi questo è.. questo è il seno di x.
Ora ti faccio una domanda un po' più complicata.
Quant'e' questa lunghezza qui?
Beh, pensiamoci su.
Cos'è la tangente?
Torniamo alla nostra definizione di tangente SOH CAH TOA.
TOA.
La tangente è uguale a TOA: Opposto su Adiacente.
Quindi cos'è la tangente di x?
Beh, è uguale a - possiamo prendere questo - se diciamo
che questo è il triangolo rettangolo, sarebbe
questa lunghezza - l'opposto - fratto l'adiacente, giusto?
Quindi diamo un nome a questo lato qui, chiamiamolo
O, cioè opposto.
Ma qual'è la lunghezza dell'adiacente?
Qual'è la base di questo triangolo più grande?
Beh, questa è la circonferenza unitaria, giusto?
Quindi la distanza da qui a qui - questa distanza è
sempre 1, giusto?
Perché è ancora un raggio.
Questo è 1.
Perciò opposto fratto adiacente è uguale alla tangente di x.
Ma opposto fratto adiacente - l'adiacente è 1, giusto?
Quindi il lato opposto, questo lato qui, sarà
uguale alla tangente di x.
O, se vogliamo dirla in un altro modo, la tangente di x è uguale a questo
lato fratto 1, ovvero la tangente di x è uguale a questo lato.
Fammelo scrivere.
Questo lato è uguale alla tangente di x.
Ora, pensiamo all'area di un paio di parti di questa
figura che ho disegnato.
Forse l'avrei dovuta disegnare un po' più grande, ma penso
che ce la faremo.
Per prima cosa prendiamo il triangolo più piccolo.
Questo triangolo qui.
Lo traccerò in verde.
Quindi il triangolo che sto disegnando in verde - quant'è
l'area di questo triangolo?
Beh, sarà base per altezza diviso 2.
Quindi è 1/2 per la base, che è 1.
Giusto?
E' questo triangolo.
E poi qual'è la sua altezza?
Beh, abbiamo appena capito che quest'altezza qui, che
quest'altezza è seno di x.
Per seno di x.
Quindi questo è il triangolo verde, giusto?
Ora, qual'è l'area di - non il triangolo verde.
Lo faccio in un altro colore.
Facciamolo in - oh, lo faccio in rosso.
Qual'è l'area di questo settore?
Questo settore qui.
Questo qua.
Spero tu veda - beh, non è un colore così differente.
Quindi, questo settore qui.
O vado qui.
E poi vado sull'arco.
Ora, è un po' più grande del triangolo che
abbiamo appena calcolato, giusto?
Sarà sempre un po' più grande, perché
include l'area tra questo triangolo e l'arco, giusto?
Quant'è l'area di questo arco?
Beh, se quest'angolo è x - e' x radianti - che frazione
è questo settore dell'intera circonferenza?
Beh, ci sono 2 pi greco radianti in una circonferenza unitaria intera, giusto?
Quindi quest'area qui dev'essere uguale a cosa?
Dev'essere uguale alla frazione che e' x del totale dei
radianti della circonferenza unitaria, giusto?
Quindi è x su 2 pi greco radianti dell'
intera circonferenza unitaria.
Quindi è tipo la frazione che sarebbe se, insomma,
l'avessi fatto in gradi e non in radianti, questa frazione qui fratto 360
gradi, per l'area dell'intero cerchio, giusto?
Questo ci dice quale frazione abbiamo del cerchio, e la vogliamo
moltiplicare per l'area dell'
intero cerchio.
Bene, quant'è l'area dell'intero cerchio?
Beh, l'area è pi greco r quadro, il raggio è 1 giusto?
Quindi l'area dell'intero cerchio è solo pi greco.
pi greco r quadro, r è 1, quindi l'area del cerchio - quindi
l'area di questa fetta qui, è uguale a -
questi pi greco si cancellano - è uguale a x mezzi.
Ora, il primo triangolo, quello verde,
è seno di x.
1/2 seno di x, questa è l'area di quel triangolo verde.
Poi l'area, leggermente più grande, di questa fetta è - l'abbiamo appena
calcolato - è x mezzi.
E ora calcoliamo l'area di questo triangolo più grande
Questo triangolo grande qui.
E questo potrebbe essere il più ovvio.
Quindi 1/2 base per altezza.
Quindi è 1/2 - la base è nuovamente 1 - per
l'altezza, che è tangente di x.
Uguale a 1/2 tangente di x.
Ora, dovrebbe essere chiaro solo guardando il grafico, non
importa dove ho disegnato questa linea in alto, questo triangolo verde
ha un'area più piccola di questo settore, che ha un'area più piccola
di questo triangolo più grande.
Giusto?
Quindi, scriviamo una disequazione che dica questo.
Il triangolo verde - l'area del triangolo verde - quindi 1/2
per seno di x, che è l'area del triangolo verde - è
minore dell'are di questo settore.
Quindi x mezzi.
E sono entrambi minore dell'area di questo
triangolo più grande, giusto?
Che è 1/2 tangente di x.
Ora quando è vero questo?
Questo è vero finché siamo nel primo quadrante, giusto?
Finché siamo nel primo quadrante.
E' anche quasi vero se andiamo nel quarto quadrante,
eccetto per il fatto che seno di x diventa negativo, la tangente
di x diventa negativa e x diventa negativa.
Ma se prendiamo il modulo di tutto, la disequazione
vale anche nel quarto quadrante.
Perché se diventa negativo, dal momento che ne prendiamo il modulo,
la lunghezza dei segmenti vale ancora e abbiamo ancora
aree positive e tutto questo genere di cose.
Ora, siccome il mio obiettivo è prendere il limite di x per x che tende a 0, e
voglio prendere il limite - affinché questo limite sia
definito in generale, dev'essere vero sia per valori positivi
che per negativi.
Prendiamo il modulo di entrambi i lati.
Dovresti capire perché..
Se avessi disegnato la linea quaggiù - e questo sarebbe il
seno di x, e questa sarebbe la tangente di x - dal momento che
abbiamo preso il modulo di tutto, stiamo essenzialmente
facendo la stessa cosa che abbiamo fatto nel primo quadrante.
Quindi prendiamo il modulo di tutto.
E questo non dovrebbe cambiare nulla, in particolare se siamo
nel primo quadrante.
E dovresti pensarci un po', perché
non cambia nulla nel quarto quadrante.
Quindi abbiamo questa disequazione.
Vediamo se ci possiamo giocare un po'.
Prima di tutto, moltiplichiamo tutto per 2.
e sbarazziamoci di questi 1/2.
Quindi otteniamo che il modulo del seno di x è minore del modulo
di x, che è minore del modulo di
tangente di x.
Spero di non averti confuso prendendo il modulo.
La disequazione originale che ho scritto era completamente valida
nel primo quadrante, ma dal momento che voglio renderla valida
nei quadranti primo e quarto, perché sto prendendo
il limite per x che tende a 0 da entrambi i lati, allora ci ho messo
il modulo.
Così si potrebbe tracciare una linea quaggiù e fare tutto quello che abbiamo fatto
lassù nel quarto quadrante, ma basta prendere
il modulo e dovrebbe funzionare lo stesso.
Comunque, tornando al problema.
Così abbiamo questa disuguaglianza.
E sono a corto di spazio, quindi fammi cancellare
un po' di roba qui.
Cancella.
Cancella.
No, questo non cancella.
OK.
Questo dovrebbe cancellare.
OK.
Quindi potremmo cancellare tutto ciò che ci ha portato fino ad qui.
Non possiamo dimenticare questo, però.
Questo ci dà un sacco di spazio.
OK.
Quindi prendiamo questa, e prendiamo questa espressione, e
dividiamo tutti i lati.
Ha tre lati, sinistra,
centrale e destro.
Dividiamoli tutti per il modulo del seno di x.
E poiché sappiamo che il modulo di seno di x è
un numero positivo, sappiamo che questi segni "minore"
non cambiano, giusto?
Quindi possiamo farlo.
Quindi il modulo del seno di x diviso per il
modulo del seno di x, beh, questo è uguale a 1.
Che è minore del modulo di x diviso per il
modulo di seno di x.
Che è minore di - qual è il modulo della tangente - percio', tutto
ciò che sto facendo è prendere il modulo di seno di x,
modulo di seno di x, modulo di seno di x.
Allora qual è il modulo della tangente di x diviso per il
modulo del seno di x?
Beh, la tangente è seno fratto coseno.
Quindi questo è pari a - facciamo questa parte qui.
Che è pari a seno fratto coseno fratto seno.
E sai, potresti dire che questa è la stessa cosa
anche col modulo.
E modulo diviso modulo.
Con cosa rimaniamo?
Beh, rimane 1 su - questo si semplifica con
questo, che diventa un 1-1 fratto modulo
del coseno di x.
Senti che ci avviciniamo?
Perché questo assomiglia molto a questo, è solo invertito.
Quindi, per arrivare a questo, invertiamoli.
E nell'invertirli, cosa succede?
Beh, prima di tutto, cosa succede quando si inverte 1?
Bene, 1 / 1 è solo 1.
Ma quando si invertono entrambi i lati di una disuguaglianza, si cambia il segno della
disuguaglianza, giusto?
E se questo non ti sembra avere senso, pensa a questo.
Sai, se dico 1 / 2 è minore di 2, e inverto entrambi i lati
della disuguaglianza, ho 2 è maggiore di 1 / 2.
Spero sia intuitivo.
Quindi, se sto invertendo tutti i lati di questa disequazione,
è necessario cambiare i segni della disequazione.
Quindi 1 è maggiore del modulo di seno di x fratto
il modulo di x, che è più grande del modulo
di coseno di x.
Ora vorrei farti una domanda.
Il modulo di seno di x fratto - beh, in primo luogo
seno di x fratto x.
Ci sarà mai un momento in cui seno di x fratto x è - nel
primo o quarto quadrante - c'è mai un momento in cui
seno di x fratto x è un'espressione negativa?
Bene, nel primo quadrante, seno di x è positivo,
e x è positivo.
Quindi un positivo diviso per un positivo
sarà positivo.
E nel quarto quadrante, seno di x è negativo, y è
negativo, e l'angolo è negativo, quindi anche
x è negativo.
Percio' nel quarto quadrante, seno di x fratto x è un
negativo diviso un negativo.
Quindi sarà di nuovo un positivo.
Quindi seno di x fratto x sarà sempre positivo.
Percio' i moduli sono un po' ridondanti.
Così potremmo scrivere che 1 è maggiore di seno di x fratto x.
Stessa logica, nei quadranti primo e quarto -
e sono quelli con cui abbiamo a che fare.
Abbiamo a che fare con meno pi greco mezzi minore di x, che
è minore di pi greco mezzi.
Quindi stiamo andando da meno pi greco mezzi
a più pi greco mezzi.
Quindi siamo nel quarto quadrante e nel primo.
Coseno di x è mai negativo?
Bene, coseno è il valore x, e x - per definizione, nei
quadranti primo e quarto - il valore x
è sempre positivo.
Quindi, se questo è sempre positivo, siamo in grado di liberarci dei
moduli, e basta scrivere questo.
E ora, siamo pronti ad utilizzare il teorema di compressione.
Adesso fammi cancellare tutto questo qui.
Allora lascia che ti faccia una domanda.
Qual è il limite, per x che tende a 0, della
funzione 1?
Ebbene, la funzione 1 è sempre uguale a 1.
Così posso impostare il limite per x che tende ad infinito, il limite
per x che tende a pi greco, qualsiasi cosa.
Questo è sempre uguale a 1.
Così quando x tende a 0, questo è uguale a 1.
E allora qual è il limite, per x tendente a 0, del coseno di x?
Beh, anche questo è facile.
Quando x si avvicina a 0, coseno di 0 è 1 -
si sa, è una funzione continua - quindi il limite è 1.
Quindi siamo pronti ad utilizzare il teorema di compressione.
Mentre ci avviciniamo a 0, per x tendente a 0, questa
funzione tende ad 1.
Questa funzione tende a 1.
E questa funzione, questa espressione, è compressa
tra le altre due.
E se sta tra le altre due, mentre ci avviciniamo - questo tende
a 1 quando x tende a 0, questa tende a 1 quando x
tende a 0, e questo è tra di loro, quindi anche questo
tende a 1 per x tendente a 0.
E così stiamo usando il teorema dei carabinieri sulla base di questo e questo.
E si potrebbe dire, sai, che per il
teorema della compressione, dato che questo è vero e questo è vero, anche questo è vero,
seno di x fratto x, il limite per x che tende a 0, è pari a 1.
Quindi spero che ti abbia dato l'intuizione giusta.
Un altro modo per vederlo, è che questa linea diventa sempre più piccola
man mano che ci si avvicina a 0, quando x si avvicina a 0, e questa
area e questa area convergono, quindi l'area tra esse deve
convergere come le altre due.
E se si vuole vedere graficamente, ho
un grafico qui.
Fammi vedere se riesco a fare il grafico di questa cosa.
Ti faccio vedere il grafico.
Giusto perche' tu mi creda.
Quindi abbiamo detto che 1 è sempre maggiore di seno di x, che
è sempre maggiore di coseno di x, tra meno pi greco mezzi
e pi greco mezzi.
E, naturalmente, non è definita in x uguale a 0.
Ma possiamo intuire il limite.
Quindi eccolo qui.
Questa linea blu qui, questa è la funzione 1.
Questo è y è uguale a 1.
Questa linea celeste qui è coseno di x.
E questo è il grafico di seno di x fratto x.
E si puoi vedere che l'ho proprio scritta qui.
Così seno di x fratto x, tra meno pi greco mezzi e pi greco mezzi
o tra il quarto e il primo quadrante, la linea rossa
sta sempre in mezzo.
Sta sempre tra le linee blu scuro e celeste.
Questa è solo l'intuizione di ciò che accade
con il teorema di compressione.
Sappiamo che il limite, quando questa linea celeste
si avvicina a 0, è 1.
E sappiamo che il limite di questa linea blu scuro
quando si avvicina a 0 è 1.
E questa linea rossa sta sempre in mezzo, quindi
anche lei tende ad 1.
Così il gioco è fatto.
La dimostrazione, utilizzando il teorema di compressione, e un po 'di
trigonometria visiva, del perché il limite, per x che tende a 0, di
seno di x fratto x è uguale a 1.
Spero di non averti confuso.