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X
Facciamo un altro po' di esempi sui limiti.
Prendiamo un altro problema.
Se ho il limite per x che tende a 3 di, diciamo,
(x^2 - 6x + 9)/ (x^2 - 9).
Allora, la prima cosa che mi piace fare ogni volta che vedo uno di questi
problemi sui limiti e' semplicemente sostituire il numero e
vedere se ottengo qualcosa di sensato e poi
avresti fatto.
Beh, di solito avremmo fatto.
Non voglio fare affermazioni troppo ampie.
Se la funzione e' continua, avremmo fatto.
Ma se mettiamo 3 al numeratore, otteniamo 3^2
che fa 9, meno 18 piu' 9.
Percio' fa 0.
E anche il denominatore --- vediamo, 3^2 meno
9, anche questo fa 0.
Quindi non ci piace avere 0/0.
La mia penna sta di nuovo funzionando male.
Percio' se non ci piace ottenere 0, 0, 0, allora, c'e' un modo per poter
semplificare questa espressione per magari portarla ad un'espressione
che, quando la calcoliamo con x = 3, otteniamo
qualcosa che abbia senso sul serio?
Beh, ogni volta che vedo due polinomiali
e sembrano, semplicemente ispezionandoli, relativamente facili da
fattorizzare, mi piace fattorizzarli perche' magari c'e'
lo stesso fattore al numeratore e al denominatore e
poi la possiamo semplificare.
Quindi diciamo che questo e' come --- questo sembra
un x + 3 --- no, no, no, x - 3.
Quiesto e' x - 3.
In realta' sembra un (x - 3)^2, ma
scriviamo solo (x - 3) * (x - 3), che e',
ovviamente. (x - 3)^2.
E poi al denominatore, lo sai come fattorizzare questi,
questo e' (x + 3)*(x - 3), giusto?
Quindi il limite per x che tende a 3 di questa espressione e' la stessa cosa
del limite per x che tende a 3 di
questa espressione.
E, ovviamente, non c'e' niente che possiamo fare per cambiare il fatto
che questa funzione, o questa espressione, e' indefinita
per x = 3.
Ma se la possiamo semplificare, possiamo capire
a cosa tende.
Beh, se assumiamo che x sia un qualsiasi numero tranne 3, possiamo
cancellare questi due termini perche' non sarebbero piu' 0, giusto?
E' 0 solo quando x = 3 perche' --- percio' al numeratore
e al denominatore, possiamo cancellare questo.
E poi possiamo dire --- non saro' troppo rigoroso qui, ma
questo e' tipo come me l'hanno insegnato e penso che
tu capisca --- questo e' la stessa cosa del limite per x
che tende a 3 di (x - 3) / (x + 3).
Ora proviamo a piazzarci la x e vediamo che cosa otteniamo.
Beh, nel numeraotre otteniamo 3 - 3.
Otteniamo sempre 0.
Ma al denominatore qui, otteniamo 6, giusto?
3 + 3 = 6.
Quindi ora otteniamo un bel numero.
0 o 6, e' un numero reale, quindi e' 0.
0/6 = 0.
Percio' questo e' interessante.
La prima volta che l'abbiamo fatto ottenevamo la risposta 0/0.
E ora abbiamo la risposta 0 semplificando.
Ma, ovviamente, e' molto importante ricordare che
l'espressione non e' definita per x = 3.
E' definita ovunque ma, se ne dovessimo fare il grafico, e
ti incoraggio a farlo, vedresti che man mano che
ti avvicini a x = 3, il valore di questa
espressione sara' uguale a 0.
E lo so a che pensi.
Beh, era 0/0.
Capitera' sempre che 0/0 diventa semplicemente 0 quando
calcolo l'espressione?
Beh, esploriamolo.
Fammi pulire qui.
Diciamo quant'e' --- la penna non funziona --- il limite per x
che tende a 1 di (x^2 - x - 2).
No, diciamo (x^2 + x - 2).
E come vedi, faccio tutto a mente e
sono soggetto a errori.
E il tutto fratto x - 1.
Beh, di nuovo, semplicemente calcolandola, vediamo cosa
succede quando x = 1.
Ottieni 1^2 + 1, quindi e' 2 - 2.
Ottieni 0/0.
Quindi di nuovo, otteniamo 0/0 e dobbiamo fare qualcosa per
magare semplificarlo.
Fattorizziamo la parte superiore.
Quindi e' la stessa cosa del limite per x che tende a 1.
Beh, e' (x - 1) * (x + 2), giusto?
E penso che scoprirai spesso quando vedi un sacco
di problemi sui limiti che anche questo fattore superiore, se questa espressione
superiore e' difficile da fattorizzare, c'e' la possibilita' che una di queste cose
nel denominatore che rende questa espressione
indefinita probabilmente e' un fattore qui sopra.
Quindi alle volte potresti avere qualcosa di piu' complicato che non e'
cosi' facile da fattorizzare, ma un buon punto di partenza e'
indovinare che uno dei fattori stara' nell'espressione
di sotto perche' e' tipo il trucco di questi problemi,
il semplificare l'espressione.
Quindi di nuovo, assumendo che x sia diverso da 1
e questa espressione non fosse 0 e questo non fosse 0,
allora questi due potrebbero annullarsi.
E otteniamo che questo e' come limite per
x che tende a 1 di x + 2.
Beh, ora e' piuttosto semplice.
Quant'e' il limite per x che tende a 1 di x + 2?
Beh, ci metti un 1 e ottieni un 3.
Quindi e' interessante.
Quando provavamo a calcolare l'espressione per
x = 1 ottenevamo 0/0.
E nell'esempio precedente abbiamo visto che il risultato era 0 quando
la semplificavi e in quest'esempio e' uscito 3.
E ti incoraggio veramente, se hai una calcolatrice grafica,
a fare il grafico di queste funzioni che stiamo facendo e vedere e mostrare
a te stesso che e' vero, che il limite quando
tendi, diciamo, a x = 1 in realta' tende sul serio
al limite che stiamo risolvendo.
E inventati i problemi.
Diavolo, e' quello che sto facendo io.
Quindi te lo potresti dimostrare da solo.
Facciamone un altro.
Facciamone uno che penso sia piuttosto interessante.
Diciamo quant'e' il limite per x che tende a infinito?
Il limite per x che tende a infinito di, diciamo,
(x^2 + 3) / x^3.
Allora, il modo in cui penso a questi problemi che tendono
a infinito, pensa solo a cosa succede quando
hai valori di x grossi grossi grossi.
Un modo di farlo tipo barando e', se hai una
calcolatrice, o anche se non hai una calcolatrice, metti
numeri grossi qui.
Guarda che succede quando x e' un milione, guarda che succede quando
x e' un miliardo, guarda che succede quando x e' un triliardo,
e credo tu abbia capito.
Vedrai cosa -- se qui c'e' un limite,
vedrai dove va.
Ma il modo in cui ci penso, nel numeratore, tipo il termine
che cresce piu' velocemente qui e' il termine x^2, giusto?
Questo qui e' il termine che cresce piu' in fretta.
Nel denominatore qual e' il termine che cresce piu' in fretta?
Beh, nel denominatore il termine che cresce
piu' in fretta e' questo x^3.
Beh, cosa crescera' piu' in fretta, x^3
o x^2?
Beh, si', x^3 crescera' molto
piu' in fretta di x^2.
Quindi questo denominatore, man mano che ottieni valori
di x sempre piu' grandi, crescera' molto piu' in fretta di quello al numeratore.
Quindi puoi immaginare se il denominatore cresce cosi' tanto
tanto tanto piu' in fretta del numeratore, man mano che ottieni numeri
piu' grandi otterrai una frazione sempre
piu' piccola, giusto?
Tendera' a 0.
Quindi man mano che vai verso infinito, tende a 0.
Lo so che l'ho fatto approssimativamente, ma e' davvero
cosi' che ci ragioni sopra.
Un altro modo in cui potresti farlo e' che potresti
dividere questa frazione.
Potresti dividere quest'espressione razionale e
otterresti qualcosa tipo 1/x piu' qualcosa qualcosa
qualcosa e poi vedresti anche: oh, beh, anche il limite per x
che tende a infinito di 1/x e' 0.
Facciamone un altro.
Lo faccio in fretta per confonderti.
Il limite per x che tende a infinito di 3x^2 + x
fratto 4x^2 - 5.
Questi problemi tipo ti confondo alle volte, ma
sono davvero semplici.
Devi solo pensare a cosa succede quando
hai valori molto grandi di x.
Beh, quando hai valori molto grandi di x questi termini piccoli,
questi qui che non crescono tanto in fretta quanto questi termini grandi,
tipo non hanno piu' importanza, giusto, perche' stai ottenendo
valori molto grandi di x.
E in questo caso questi non importano piu' e poi
questi due termini x crescono allo stesso ritmo, giusto?
E cresceranno sempre tipo in questo
rapporto di 3 a 4.
Quindi il limite qui in realta' e' cosi' semplice.
E' 3/4.
Percio' quello che fai e' capire qual e' il
termine che cresce piu' in fretta di sopra, qual e' il termine che
cresce piu' in fretta di sotto e poi capire a cosa tende.
Se sono lo stesso termine tipo si annullano e
dici che il limite tende a 3/4.
E' un modo per niente rigoroso per farlo, ma
ti da' la risposta giusta.
Ci vediamo nella prossima presentazione.