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Mettiamo in pratica il procedimento...
Si inizia con una qualsiasi disposizione iniziale (assioma),
ad esempio un decagono con 5 aquiloni
Ora si applica il processo di suddivisione su ogni triangolo ottenendo una suddivisione più fitta
Osserviamo che i nuovi triangoli si dispongono in modo da ricomporre frecce ed aquiloni
Infine rigonfiamo tutto in modo da avere piastrelle della dimensione originale
e ripetiamo il procedimento una seconda volta
Ora ci sono anche alcuni triangoli ottusi da suddividere
I vincoli di accostamento tra i tasselli risultano rispettati da questo procedimento
Di nuovo rigonfiamo tutto per avere piastrelle della dimensione iniziale
Terza iterazione...
Quarta...
Si è formato un decagono centrale uguale alla configurazione da cui siamo partiti!
Quinta iterazione...
Sesta...
Settima...
Ottava...
Possiamo continuare indefinitamente piastrellando un'area sempre più estesa
Ecco il risultato dopo nove iterazioni
Abbiamo in definitiva un procedimento per tassellare tutto il piano (rispettando i vincoli)
A causa della scelta iniziale (decagono con 5 aquiloni) la piastrellatura risultante
sarà dotata di simmetrie rotazionali (rotazioni di 72 gradi)
e anche di simmetrie assiali (riflessioni rispetto a cinque rette passanti per il centro)
come suggeriscono alcuni dei movimenti che vedete
Ci sono esattamente 10 simmetrie, che insieme formano il gruppo diedrale "D5" (simmetrie di un pentagono)
Questo gruppo può essere generato da una rotazione di 72 gradi...
...e da una riflessione rispetto ad una retta opportuna per il centro
Possiamo deformare un po' il contorno di FRECCIA e AQUILONE in modo da ottenere forme di fantasia
sullo stile dei disegni di Escher
Utilizziamo le nuove forme per riempire il piano...
Il risultato è comunque strutturalmente lo stesso della tassellazione con FRECCE ed AQUILONI
Ecco il risultato dopo cinque iterazioni della tecnica di deflazione/inflazione
Una alternativa interessante è invece costituita da due rombi diversi scelti opportunamente
C'è comunque una stretta parentela con Freccia e Aquilone, come mostrato nell'animazione
I rombi saranno spezzati in due triangoli isosceli
uguali, a parte la proporzione, a quelli già incontrati
Si può definire un procedimento di deflazione/inflazione basato su una opportuna suddivisione dei triangoli aurei
analoga a quella utilizzata per Freccia e Aquilone
Dopo sei iterazioni del nuovo procedimento di deflazione/inflazione
a partire da una opportuna configurazione iniziale
otteniamo questa tassellazione in rombi...
Roger Penrose ha provato a suddividere un grosso pentagono in 6 pentagoni più piccoli
di lato pari al quadrato del rapporto aureo rispetto al pentagono grande
Iterando il suo procedimento un po' di volte rimangono degli interstizi
Alcuni di questi hanno forma pentagonale, e quindi verranno inclusi nel procedimento di suddivisione,
altri invece richiedono forme diverse per essere riempiti: rombo, corona e stella
I tre colori utilizzati per i pentagoni servono a distinguere i vincoli di accostamento
che costringono ad ottenere una tassellazione non periodica.
In questo modo si ottiene un insieme di 6 tasselli che verificano la proprietà di aperiodicità
A tutt'oggi non è noto se ci sia una singola piastrella per cui esistano solo tassellazioni non periodiche!