Domain of a Function

Benvenuto alla presentazione sul dominio di una funzione. Quindi cos'è il dominio? Il dominio di una funzione, spesso lo sentirai combinato con dominio e intervallo. Ma il dominio di una funzione è solo quali valori posso mettere in una funzione e ottenere un output valido. Quindi cominciamo con qualche esempio. Diciamo che ho f(x) è uguale a, diciamo, x^2. Quindi fammiti porre una domanda. Quali valori di x posso mettere qui per ottenere una risposta valida per x al quadrato? Beh, posso metterci di tutto qui, qualsiasi numero reale. Quindi qui dico che il dominio è l'insieme di x tale che x è un membro dei numeri reali. Quindi questo è solo un modo elegante per dire che ok, questa R con questo tipo di spina dorsale doppia qui, significa solamente numeri Reali e penso tu abbia familiarità ormai con i numeri reali. Che è praticamente ogni numero al di fuori dei numeri complessi. E se non sai cosa sono i numeri complessi va bene. Probabilmente adesso non ti serve conoscerli. I numeri reali sono tutti i numeri con cui la maggior parte delle persone hanno familiarità, tra cui numeri irrazionali, numeri trascendenti, frazioni --- ogni numero è un numero reale. Percio' il dominio qui è x --- x deve solo essere un membro dei numeri reali. E questo piccola E al contrario o roba cosi', questa significa solo che x è un membro dei numeri reali. Quindi facciamone un altro in una leggera variazione. Vediamo. Ok. Diciamo che ho f(x) = 1 / x^2. Quindi ora questo è la stessa cosa? Posso ancora mettere qualsiasi valore in x e ottenere una risposta ragionevole? Beh, quant'è f(0)? Che succede alla mia penna? f(0) = 1 / 0. E quant'è 1 / 0? Non lo so quanto fa, quindi è indefinito. Indefinito. Nessuno si e' mai preso la briga di definire quanto dovrebbe essere 1 / 0. E probabilmente non l'hanno fatto, magari alcuni probabilmente ci hanno pensato ma probabilmente non sono riusciti a trovare una buona definizione per 1 / 0 che fosse coerente con il resto della matematica. Percio' 1 / 0 resta indefinito. Così f(0) non è definito. Percio' non possiamo immettere 0 e ottenere una risposta valida per f(0). Così qui diciamo che il dominio è pari a --- fai le graffe, che mostrano tipo l'insieme in cui si applica x. Sono quelle parentesine graffe, non le ho disegnate bene. x è ancora un membro dei numeri reali, tale che x non sia uguale a 0. Quindi qui ho giusto fatto una leggera variazione su quello che avevo prima. Prima abbiamo detto: quando f(x) = x^2 x è un qualsiasi numero reale. Ora stiamo dicendo che x è qualsiasi numero reale ad eccezione di 0. Questo è solo un modo elegante di dirlo e queste parentesi graffe significano solo un insieme. Facciamone un altro paio. Diciamo che f(x) = radice quadrata di (x - 3). Così qui abbiamo detto: bene, questa funzione non è definita quando abbiamo uno 0 al denominatore. Ma che cosa c'è di interessante in questa funzione? Possiamo fare la radice quadrata di un numero negativo? Bene fino a quando non impariamo i numeri immaginari e complessi non possiamo. Così qui diciamo: bene, qualsiasi x è valida, qui, tranne che per le x che rendono negativa questa espressione sotto la radice. Quindi dobbiamo dire che (x - 3) deve essere maggiore o uguale a 0, giusto, perché potresti avere la radice di 0, va bene, è 0. Percio' (x - 3) deve essere >= 0, quindi x deve essere >= 3. Quindi il nostro dominio è: x è un membro dei numeri reali, tale che x è maggiore o uguale a 3. Ok. Facciamone uno un po' più difficile. Se dico: f(x) = radice quadrata di |x| - 3. Quindi sta diventando un po' più complicato. Bene proprio come questo qui, questa espressione sotto al radicale deve essere maggiore o uguale a 0. Quindi puoi dire semplicemente che |x| - 3 >= 0. Quindi abbiamo |x| >= 3. E affinche' il valore assoluto di qualcosa sia maggiore o uguale a qualcosa, questo significa che x deve essere = 3. Ha senso perché x non può essere -2, giusto? Perché -2 ha un valore assoluto minore di 3. Quindi x deve essere inferiore a -3. Deve stare piu' lontano di -3 in direzine negativa oppure deve stare piu' lontano in direzione positiva di 3 positivo. Percio', di nuovo, x deve essere 3, così abbiamo il nostro dominio. Quindi abbiamo: x è un membro dei Reali --- mi dimentico sempre. È la linea? Mi scordo sempre, o è una linea o due punti. Sono arrugginito, sono anni che non faccio questo tipo di cose. Ma comunque, credo tu abbia capito il punto. Potrebbe essere qualsiasi numero Reale qui, fintanto che x è minore di -3, = 3. Ora fammiti porre una domanda. Cosa succede se invece di ciò fosse stato, questo fosse il denominatore --- questo era tutto un problema separato qui sopra. Quindi ora abbiamo 1 / radice quadrata di (|3| - x) Quindi ora questo come cambia la situazione? Non solo ora questa espressione al denominatore, non solo deve essere maggiore o uguale a 0, può più essere 0? Beh no, perché poi otterresti la radice quadrata di 0, che è 0 e otterresti uno 0 al denominatore. Quindi è tipo come questo problema più questo problema combinati. Quindi ora quando hai 1 / radice quadrata di |x| - 3, ora non è più >= 0, è solo > 0, giusto? E' solo > 0. Perché non possiamo avere uno 0 qui nel denominatore. Quindi se è > 0, allora basta dire > 3. Ed essenzialmente ci sbarazziamo semplicemente dei segni di uguale. Fammelo cancellare correttamente. È un colore leggermente diverso, ma magari non te ne accorgi. Ecco qua. In realtà, dovremmo fare un altro esempio dato che abbiamo tempo. Vediamo. Fammi cancellare. Ok. Ora diciamo che f(x) = 2 se x è pari, e 1 / ((x - 2) * (x - 1)) se x è dispari. Qual è il dominio qui? Quali sono le x valide che posso mettere qui? Quindi immediatamente abbiamo due clausole. Se x è pari usiamo questa clausola, quindi f(4) --- beh, è uguale a 2, perché qui abbiamo utilizzato questa clausola. Ma quando x è dispari si applica questa clausola. Proprio come abbiamo fatto nell'ultimo esempio, quali sono le situazioni dove questo tipo si rompe? Beh, quando il denominatore è 0. Beh il denominatore è 0 quando x = 2, o x = 1, giusto? Ma questa clausola si applica solo quando x è dispari. Quindi x = 2 non si applicano a questa clausola. Quindi solo x = 1 si applicherebbe a questa clausola. Quindi il dominio è: x è un membro dei Reali tale che x non è uguale a 1. Penso che sia tutto il tempo che ho per ora. Divertiti a fare pratica con i problemi sul dominio.