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Come qualsiasi studente di geometria, presente o passato, sa,
il padre della geometria fu Euclide,
un matematico greco vissuto ad Alessandria d'Egitto
attorno al 300 a.C.
Euclide è noto per essere l'autore
di un lavoro particolarmente influente conosciuto come gli 'Elementi'.
Pensate che il vostro libro di matematica sia lungo?
Gli 'Elementi' di Euclide sono 13 volumi, solo di geometria.
Negli 'Elementi', Euclide ha strutturato e integrato
il lavoro di molti matematici che lo hanno preceduto,
come Pitagora,
Eudosso,
Ippocrate,
e altri.
Euclide ha esposto tutto in un logico sistema di prova
fondato su un insieme di definizioni,
nozioni comuni,
e i suoi cinque famosi postulati.
Quattro di questi postulati sono molto semplici e intuitivi,
ad esempio, due punti determinano una linea.
Il quinto, tuttavia, è il seme da cui nasce la nostra storia.
Questo quinto misterioso postulato è noto
semplicemente come il "postulato delle parallele".
A differenza dei primi quattro,
il quinto postulato è formulato in modo molto contorto.
La versione di Euclide afferma che,
"Se una linea interseca due altre linee
in modo che la misura dei due angoli interni
sullo stesso lato della trasversale
si sommi fino a meno di due angoli retti,
allora le linee si intersecheranno ad un certo punto da quello stesso lato,
e pertanto non sono parallele.
Che boccone!
La versione più semplice e più familiare è questa:
"In un piano, attraverso qualsiasi punto che non si trovi su una determinata linea,
si può disegnare solo una nuova linea
che sia parallela a quella originale."
Molti matematici nel corso dei secoli
hanno provato a dimostrare il postulato delle parallele partendo dagli altri quattro,
ma non ci sono riusciti.
Durante questo processo, hanno cominciato a guardare
a che cosa accadrebbe a livello logico
se il quinto postulato non fosse vero.
Alcune delle più grandi menti
nella storia della matematica si sono poste questa domanda,
gente come Ibn al-Haytham,
Omar Khayyam,
Nasir al-Din al-Tusi,
Giovanni Saccheri,
Janos Bolyai,
Carl Gauss,
e Nikolai Lobachevsky.
Tutti hanno sperimentato la negazione del postulato delle parallele,
solo per scoprire che questo portava
a geometrie completamente alternative.
Queste geometrie sono diventate note col nome generale di
geometrie non euclidee.
Beh, lasciamo i dettagli
di queste diverse geometrie per un'altra lezione.
La differenza principale dipende dalla curvatura
della superficie su cui sono costruite le linee.
Viene fuori che Euclide non ci ha raccontato
tutta la storia negli 'Elementi';
ha semplicemente descritto uno dei possibili modi
di guardare l'universo.
Tutto dipende dal contesto in cui si trova ciò che si sta osservando.
Le superfici piane si comportano in un modo,
mentre le superfici curve, positivamente o negativamente,
hanno caratteristiche molto differenti.
All'inizio queste geometrie alternative sembravano un po' strane
ma ben presto sono si sono rivelate altrettanto valide
a descrivere il mondo che ci circonda.
Per navigare il nostro pianeta serve geometria ellittica
mentre gran parte dell'arte di M.C. Escher
mostra la geometria iperbolica.
Anche Albert Einstein ha usato la geometria non euclidea
per descrivere il modo in cui lo spazio-tempo
diventa lavoro in presenza di materia
come parte della sua teoria generale della relatività.
Il grande mistero è se Euclide
avesse avuto alcun sospetto dell'esistenza di queste diverse geometrie
quando scrisse il suo misterioso postulato.
Potremmo non avere mai la risposta a questa domanda,
ma sembra difficile credere
che non avesse idea della loro natura,
essendo il grande intelletto che fu
e comprendendo la materia cosi bene.
Forse lo sapeva
e ha intenzionalmente scritto il postulato delle parallele in modo
da lasciare alle menti curiose dopo di lui
il compito di scoprirne i dettagli.
Se è così, è probabilmente abbastanza soddisfatto.
Queste scoperte non potrebbero essere mai state fatte
senza pensatori dotati e progressivi,
in grado di allontanarsi da nozioni preconcette
e di pensare al di fuori di ciò che è stato loro insegnato.
Anche noi dovremmo essere disposti a volte
a mettere da parte nozioni preconcette ed esperienze fisiche
per guardare alla dimensione d'insieme,
o rischiamo di non vedere il resto della storia.