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La velocità di fuga è la velocità minima che un corpo deve avere quando viene lanciato
da un pianeta per riuscire a sfuggire all'attrazione gravitazionale del pianeta stesso. Cioè,
detto in parole semplici, per non ricadere sulla superficie una volta che viene lanciato.
Sono interessata proprio ad andare a calcolare il valore di questa velocità minima.
Allora, prendiamo il caso generico di un pianeta sferico di *** m e di raggio R, che ha questo
corpo che io devo lanciare sulla sua superficie; questo corpo avrà una *** m piccolo. Facciamo
un caso molto semplice, quello cioè in cui il corpo viene lanciato con una certa velocità
iniziale verticale. Io non sono interessata a capire, una volta che questo corpo è in
orbita, che orbita seguirà o come si muoverà, ma solo il valore minimo della velocità.
Per cui, decido di fissarmi un punto iniziale e un punto finale e andare a calcolare l'energia
in questi due punti. Nel mio punto iniziale, che è quando il corpo
si trova sulla superficie del mio pianeta, avrò un'energia meccanica, che è data sicuramente
da un termine cinetico pari a (1/2)m per la velocità iniziale con cui viene lanciato
al quadrato; più un termine potenziale: questo termine potenziale è dovuto all'attrazione
gravitazionale tra il corpo M grande e il corpo m piccolo. Questo termine è dato da
-γmM/r. r è la distanza che c'è tra i centri dei due corpi, ma siccome il corpo
è sulla superficie del pianeta, coinciderà con il suo raggio.
Come punto finale vado a prendere un punto generico molto distante dal pianeta di ***
M grande, perché così sono sicura che in quel punto lì, che io dico essere all'infinito,
il corpo m piccolo non risentirà dell'attrazione gravitazionale del corpo M grande.
Vado quindi a calcolare l'energia meccanica all'infinito, e dico che sarà uguale sicuramente
a un termine cinetico, (1/2)mv_f², più il termine di potenziale, che quindi sarà 0.
Posso fare ora conservare questa energia, perché io sto trascurando, nel caso molto semplice,
tutti gli attriti possibili, e quindi devo uguagliare questi due termini, per cui avrò:
(1/2)mv_i²-γmM/R, che è uguale a (1/2)mv_f². Vedo che in quest'equazione la *** del corpo
che devo lanciare si va ad elidere e posso allora ricavare la velocità iniziale. La
velocità iniziale sarà allora uguale a (1/2)v_f²+γM/R, il tutto moltiplicato per 2, il sotto
radice. Questa è la velocità iniziale generica, ma non è ancora quella minima.
Se io volessi avere la velocità minima, dovrei dire che arrivo all'infinito con una velocità
che è nulla. Quindi, se metto questo uguale a 0, ottengo la velocità iniziale minima, che è proprio
la mia velocità di fuga, che è uguale a γm*2/R sotto radice. Vedo quindi che questa velocità
dipende solo dal pianeta grande, dalla sua *** e dal suo raggio e da γ.
Ovviamente c'è una velocità di fuga diversa per ogni pianeta. Per esempio, nel caso della
terra, se dovessi inserire la *** della Terra e il raggio della Terra, otterrei un
valore di circa 4*10 alla quarta km/h. Questa è la velocità minima con cui lanciare, per
esempio, un satellite o un razzo dalla superficie terrestre in modo che riesca ad essere svincolato
dall'attrazione della Terra stessa. È una velocità molto alta, per questo abbiamo bisogno di
molto carburante per portare in orbita i nostri oggetti.
A questo punto ho visto che io sono partita da un discorso energetico e ho ricavato una
velocità. Da sempre delle considerazioni energetiche posso anche ricavarmi anche delle altre informazioni?
Sì, per esempio potrei pensare di scrivere sempre un bilancio energetico su un corpo
che si trova in generale in un'orbita e questo bilancio energetico, cioè la sua energia
meccanica totale, sarà sempre uguale, come abbiamo scritto lì, a un termine cinetico
più un termine potenziale. L'energia meccanica ha un valore che varia, perché dipende dal
pianeta da cui io faccio partire il pianeta di *** m piccolo. Quello di cui però sono
sicura è il segno dei vari termini dell'energia meccanica: l'energia cinetica, infatti, dipende
dalla *** e da una velocità al quadrato, quindi sarà sempre un termine positivo. L'energia
potenziale è dipendente da termini positivi, ma davanti ha un segno meno, quindi darà
sempre un contributo negativo. In base al valore di questi termini l'energia meccanica
assume un segno differente; in particolare, l'energia meccanica può essere negativa:
questo vuol dire che il termine di potenziale ha prevalso su quello cinetico, cioè il modulo
di U è più grande del modulo di K. Questo vuol dire che l'attrazione gravitazionale
è più forte rispetto al termine cinetico, quindi vuol dire che avrò delle orbite chiuse.
Il caso più generico di orbita chiusa è il caso dell'orbita ellittica, cioè l'orbita
che per esempio hanno i pianeti intorno al sole, o che ha una cometa che si avvicina
alla Terra, si allontana, quindi non è visibile per k mila anni e poi ritorna visibile dalla
Terra. Un caso particolare di orbita chiusa è l'orbita
circolare, che è l'orbita di alcuni satelliti, come satellite naturale, la luna intorno alla
Terra, o satellite artificiale, i satelliti geostazionari.
Abbiamo poi un altro caso, cioè il caso in cui l'energia meccanica sia > 0.
Se è >0, vuol dire che il modulo di K è più grande del modulo di U, quindi è il
termine cinetico che ha prevalso sul termine di potenziale. Questo è il caso delle orbite
aperte. La tipica orbita aperta è il caso dell'orbita iperbolica, che per esempio è quella che
hanno le comete, che però passano vicino alla Terra una sola volta per poi non
tornare più; e questi sono i passaggi più pericolosi, perché si possono avvicinare
di molto alla Terra. Oppure, per esempio, è il caso dei razzi che vengono lanciati
nello spazio però per andare ad esplorare anche lo spazio più profondo, come per esempio
la sonda Galileo.