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Benvenuti alla presentazione sulle derivate
Penso che a questo punto troverai che la matematica cominci
a diventare più divertente di quanto fosse soltanto qualche argomento fa.
Bene, cominciamo con le nostre derivate.
So che suona molto complicato.
Bene, generalmente, se ho una linea dritta-- dunque se io
posso disegnare una linea dritta correttamente-- se ho una linea dritta--
questi sono i miei assi delle coordinate, che non sono dritti--
questa è una linea dritta.
Ma quando ho una linea dritta come questa, e ti chiedo
trova la pendenza-- penso che tu conosca già come fare--
è semplicemente la variazione in y diviso per la variazione in x.
Se voglio trovare la pendenza-- intendo, la pendenza è
la stessa, perché è una linea dritta, la pendenza è la stessa
lungo tutta la linea, ma se voglio trovare la pendenza in ogni
punto su questa linea, quello che andrò a fare è prendere un
punto sull'asse x-- prendo questo punto.
Prendiamo un colore diverso-- Prendo questo punto, prendo
questo punto-- è abbastanza liberamente, potrei prendere altri due
punti e voglio vedere qual'è il cambiamento sull'asse delle y-- questo
è il cambiamento in y, delta y, che è solo un altro modo di
chiamare il cambiamento in y-- e questo è il cambiamento in x.
delta x.
E vediamo che la pendenza è definita come
cambiamento in y diviso per il cambiamento in x.
E un altro modo di dire che è delta-- è questo triangolo--
delta y diviso delta x.
Molto semplice.
Ora, cosa succede se non abbiamo a che fare
con una linea dritta?
Fammi vedere se ho lo spazio per disegnarla.
Altre coordinate cartesiane.
Un pò in disordine, ma credo che capirai il concetto.
Ora, diciamo, invece di una linea dritta come questa, la linea
segue lo standard y = mx + b.
Diciamo che la curva y = x^2 ( x al quadrato = x alla seconda = x*x)
Fammela disegnare in un colore diverso.
Quindi y = x^2 è simile a questa.
é una curva, probabilmente ora ci sei familiare.
e quello che voglio chiederti è, qual'è la
pendenza di questa curva?
pensa a questo.
Cosa significa prendere la pendenza di una curva?
Bene, in questa linea, la pendenza era la stessa lungo
tutta la linea.
Ma se guardi la curva, non cambia la
pendenza?
Qui è quasi piatta, e diventa sempre più ripida,
sempre più ripida finché diviene quasi verticale.
e se vai ancora più su diviene ancora più verticale.
Quindi starai dicendo, bene, come fai ad ottenere
la pendenza di una curva in cui la pendenza continua a cambiare?
Non c'è la pendenza per l'intera curva.
Per una linea c'è la pendenza per l'intera linea, perché
la pendenza non cambia mai.
Ma quello che proveremo a fare è presentare la
pendenza in un certo punto.
E la pendenza in un determinato punto è la stessa della
pendenza di una linea tangente in quel punto.
Per esempio-- prendo il verde-- la pendenza in questo punto
esattamente qui, sarebbe la stessa della pendenza di questa linea.
Giusto?
Perché questa linea è tangente ad essa.
Quindi, tocca la curva, e in quel punto esatto, loro
hanno-- questa curva blu, y = x^2, hanno
la stessa pendenza.
Ma se andiamo in un punto qui, anche se questo è
veramente un brutto grafica, la pendenza sarebbe
qualcosa come questa.
La pendenza della tangente.
La pendenza sarebbe negativa, e qui c'è la pendenza positiva
ma se prendiamo un punto qui, la pendenza sarebbe
ancora maggiore.
Quindi, come lo rappresentiamo?
Come mostriamo la pendenza della curva in ogni punto
lungo la curva y = x^2 ?
Qui è dove entrano in gioco le derivate, e ora per la
prima volta vedrai perché il limite è
un concetto utile.
Permettimi di ridisegnare la curva.
OK, disegnerò gli assi, questo è l'asse y -- lo faccio solo nel
primo quadrante-- e questo è -- devo veramente trovare uno
strumento migliore per farlo- questo è l'asse x, e poi
disegno la mia curva in giallo.
Quindi, y = x^2 è qualcosa di simile a questo.
Sono concentrato a disegnarlo
almeno decentemente.
OK.
Diciamo di voler trovare la pendenza in questo punto.
Chiamiamolo punto a.
In questo punto, x = a.
e certamente questo è f(a) (leggesi f di a)
Quindi quello che proveremo a fare è, trovare
la pendenza di una linea secante.
Una linea fra-- prendiamo un altro punto, diciamo qualcosa di
vicino a questo punto sul grafico, facciamo qui, e se
possiamo raffigurare la pendenza di questa linea, sarebbe una
piccola approssimazione della pendenza della curva
in questo preciso punto.
Disegno la linea secante.
Qualcosa come questo.
La linea secante è simile a questa.
e diciamo che questo punto, è a + h, dove
questa distanza è solo h, questo è + h, stiamo semplicemente allontanando
h da a, e poi questo punto
è f(a+h)
La mia penna non funzione bene.
Questa sarebbe un'approssimazione per la
pendenza in questo punto.
e più vicino è h, più i due punti sono vicini,
migliore è la nostra approssimazione
ad ogni modo, se possiamo avere la
pendenza dove h = 0, questa sarebbe la pendenza,
la pendenza momentanea, di quel punto sulla curva.
Ma come possiamo raffigurare cosa sia la pendenza quando h = 0 ?
Abbiamo detto che la pendenza fra questi due
punti, sarebbe la differenza in y, quindi quale sarebbe
la differenza in x?
Questo punto-- la coordinata x--
-- sto già facendo disordine-- la
coordinata a + h, e la coordinata y è f(a+h)
e in questo punto le coordinate sono a e f(a)
Quindi se usiamo la formula standard della pendenza, come prima,
diremo la variazione in y sulla variazione in x.
Bene, qual'è il cambiamento in y?
é f(a+h) -- questa coordinata y meno questa--
meno f(a) sulla variazione di x.
La variazione in x è questa coordinata x, a + h, meno
questa coordinata x, meno a.
Certamente questa a e questa a si eliminano.
quindi è f(a+h) - f(a) il tutto su h.
questa è la pendenza di questa linea secante.
e se vogliamo avere la pendenza della linea tangente, dobbiamo
trovare cosa succede quando h diventa più piccola,
sempre più piccola.
Penso che tu abbia capito dove sto andando.
se vogliamo trovare la pendenza di questa
linea tangente, dobbiamo trovare il limite di questo
valore mentre h tende a 0.
poi, quando h tende a 0, questa linea secante diventa
sempre più vicina alla pendenza della linea tangente.
e poi conosceremo la pendenza esatta in quel preciso
punto lungo la curva.
e infine, questa è anche la definizione
di derivata.
La derivata non è altro che la pendenza di una
curva in un punto esatto.
e questo è super-utile, perché per la prima volta,
tutto quello di cui abbiamo parlato su questo punto è
la pendenza di una linea.
Ma ora possiamo prendere ogni curva continua, o più
curve continue, e trovare la pendenza di quella curva
in un punto esatto.
Quindi ora che ti ho dato la definizione di cosa sia una derivata,
e magari ,spero, un pò di intuizione, nel
prossimo video userò questa definizione per
applicarla ad alcune funzioni, come x^2 e altre, e
darti alcuni problemi.
Ci vediamo nel prossimo video.