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La dimensione due
Mi chiamo Ipparco;
sono vissuto nel secondo secolo prima di Gesù Cristo e,
senza falsa modestia,
posso dire di essere il fondatore della geografia e dell'astronomia.
Ho scritto almeno quattordici libri,
ma sfortunatamente sono praticamente tutti scomparsi.
Si deve a me il primo catalogo delle stelle,
la creazione della trigonometria,
l'invenzione dell'astrolabio.
Per fortuna un mio geniale successore, Tolomeo,
tre secoli più tardi,
si è ampiamente ispirato ai miei lavori,
al punto che gli storici hanno, talvolta,
delle difficoltà a distinguere i suoi contributi dai miei.
Il suo trattato "L'Almagesto" è il primo trattato di scienza astronomica
e il suo libro "La Geografia" contiene la prima
mappa del mondo conosciuto all’epoca.
La geografia e la geometria sono due scienze che si interessano alla Terra.
Etimologicamente, la geo-grafia tenta di disegnarla
e la geo-metria tenta di misurarla.
La Terra ha quasi la forma di una sfera.
Trascuriamo il fatto che è leggermente appiattita ai poli
e consideriamo la sua superficie come una sfera perfetta.
Ricordatevi che su una sfera
tutti i punti sono alla stessa distanza dal centro.
La freccia che vedete,
che parte dal centro e va fino ad un punto mobile sulla sfera,
ha una lunghezza costante.
Scegliamo un altro asse per la sfera: una retta, che passa per il centro.
Se tagliamo la sfera lungo un piano che contiene questo asse,
il taglio avviene lungo un cerchio massimale
che divide la sfera in due semisfere.
Se tagliamo adesso la sfera
utilizzando una specie di ghigliottina che scorre lungo l'asse,
appaiono dei meridiani.
Sono dei semicerchi,
le cui estremità sono situate al polo nord e al polo sud.
Ora, se tagliamo la sfera
lungo un piano perpendicolare all'asse,
definiamo dei cerchi, che si chiamano paralleli.
Così la sfera è ricoperta da un reticolo di curve,
i meridiani e i paralleli.
Un parallelo lo conosciamo tutti quanti:
si tratta dell'equatore, a metà cammino tra i due poli.
Uno dei meridiani è stato scelto come origine.
Per ragioni storiche,
è quello che passa per l'Osservatorio di Greenwich, in Inghilterra.
Per descrivere la posizione di un punto sulla Terra,
ci si può mettere all'intersezione dell'equatore
e del meridiano di Greenwich,
seguire l'equatore per una certa distanza
misurata da un angolo qui rappresentato in rosso: la longitudine,
e in seguito risalire lungo un meridiano formando un altro angolo
rappresentato in verde: la latitudine,
fino a raggiungere la destinazione desiderata.
Ogni luogo sulla Terra è completamente descritto
da questi due numeri,
la sua longitudine e la sua latitudine.
Dato che occorrono due numeri
per descrivere un luogo sulla Terra,
si dice che la sfera è di dimensione due
e i matematici la chiamano spesso S2.
Infine, se autorizziamo il nostro piccolo aereo a lasciare la Terra
e a lanciarsi nello spazio,
per descrivere la sua posizione
avremmo ora bisogno di tre numeri
la longitudine, la latitudine e ...
l'altitudine rispetto alla Terra.
Dato che servono tre numeri
per orientarsi nello spazio,
si dice che lo spazio è di dimensione 3.
Sui ritratti appesi ai muri
potete vedere Tolomeo, il padre della cartografia.
Come disegnare la Terra?
Un possibile metodo consiste nel proiettarla su un piano.
Scegliamo una città sulla terra, ad esempio Dakar.
Si può tracciare la retta che passa per il polo nord e per questa città.
Questa retta interseca il piano del tavolo in un altro punto,
che chiamiamo proiezione del punto.
Così ogni luogo sulla Terra può essere proiettato su un punto del piano del tavolo.
Più la nostra città si avvicina al polo nord,
più la sua proiezione si ritrova spedita lontana nel piano.
La proiezione può addirittura uscire dal tavolo!
E' per questo che si dice che il polo nord non ha proiezione
o, meglio, che la sua proiezione è all'infinito.
Ogni punto della Terra, ad eccezione del polo nord
può essere rappresentato sul piano del tavolo.
Questa mappa del mondo prende il nome di proiezione stereografica.
Certo...questa proiezione non conserva le grandezze.
L'America del Sud, per esempio, appare ben minuscola
paragonata all'America del Nord.
Per comprendere meglio la proiezione,
facciamo rotolare la Terra come una palla
e proiettiamo sempre a partire dal punto più in alto.
Nella danza dei continenti,
ognuno diventa, a suo turno, grande e poi piccolo.
Se si guarda più da vicino, però,
ci si accorge che la forma è sempre rispettata,
anche se le lunghezze non lo sono.
Si dice perciò che la proiezione stereografica è conforme.
Che cosa diventano i meridiani e i paralleli nella proiezione?
Quando si proietta a partire dal polo nord,
i meridiani diventano dei raggi che partono dal polo sud
e i paralleli diventano cerchi concentrici.
E se la Terra ruota, potete vedere che i meridiani, come i paralleli,
si proiettano ancora su cerchi o rette.
La proiezione stereografica trasforma
i cerchi tracciati sulla sfera in cerchi tracciati sul piano,
ad eccezione, chiaramente, dei cerchi
che passano per il polo di proiezione,
che sono invece proiettati su rette del piano.
Osserviamo lo stesso movimento, ma visto dal basso:
si vedono così i meridiani e i paralleli
che formano due fasci di cerchi.
I punti dove convergono tutti i meridiani
sono beninteso il polo nord e il polo sud.
Lo avete riconosciuto?
Si vede qui il meridiano di Greenwich,
dove termina anche la prima tappa del nostro viaggio verso la quarta dimensione.