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Abbiamo già fatto diversi video. Abbiamo approssimato l'area sotto una curva, suddividendo quest'area in rettangoli,
e poi trovando la somma dell'area di questi rettangoli come una approssimazione.
Questo è stato il primo esempio a cui abbiamo guardato,
dove ciascuno dei rettangoli aveva la stessa base.
Quindi abbiamo egualmente ripartito l'intervallo tra i nostri due estremi, tra a e b.
E l'altezza del rettangolo era il valore della funzione valutata al punto finale sinistro di ciascun rettangolo.
E vogliamo generalizzare e scriverla in notazione singola. E essa assomigliava a qualcosa del genere.
E questo era un caso. Più tardi abbiamo guardato a una situazione dove definisci l'altezza valutando la funzione nel punto finale destro
o nel punto di mezzo. Ed abbiamo anche costruito trapeziodi.
E queste sono tutte istanze particolari di Somme di Riemann. Somme di Riemann.
E questa qui è una Somma di Riemann.
E quando le persone parlano di somme di Riemann, parlano della nozione generale.
Non devi fare per forza in questo modo. Puoi usare trapeziodi. Non devi neanche per forza avere partizioni egualmente distanziate.
Io ho usato partizioni egualmente distanziate perché rende le cose un po' più semplici concettualmente.
E questa qui è una immagine della persona nel nome del quale le somme di Riemann sono state denominate.
Questo è Bernard Riemann. E ha dato molti contributi alla matematica.
Ma è noto per lo più - soprattutto se stai seguendo per prima il corso di calcolo ...
...è la Somma di Riemann. E come essa sia usata per definire l'integrale di Riemann.
Entrambi Newton e Leibeniz erano giunti all'idea di integrale, quando formularono il calcolo.
Ma l'integrale di Riemann è la più diffusa, formale e direi rigorosa definizione di cosa sia un integrale.
Puoi figurarti: questo è un esempio di somma di Riemann. Abbiamo n qui sopra. E più n è grande, migliore sarà l'approssimazione.
Quindi la sua definizione di integrale, che è l'area effettiva sotto la curva,
...o la sua definizione di integrale definito, che è che l'area effettiva sotto la curva tra a e b,
è prendere questa somma di Riemann - non deve essere per forza questa, puoi prendere qualsiasi somma di Riemann -
e prendere il limite quando n tende all'infinito.
Allora, giusto per essere chiari: cosa accade quando n tende all'infinito?
Lasciami disegnare un altro grafico qui. Questo è il mio asse y. Questo è il mio asse x. Questa è la mia funzione.
Quando n tende all'infinito... quindi questo è a, questo è b...
Puoi avere tranquillamente una tonnellata di rettangoli. Puoi ottenere tranquillamente una tonnellata di rettangoli qui.
Diventeranno una sempre migliore approssimazione per l'area effettiva.
E l'area effettiva sotto la curva è denotata dall'integrale da "a" a "b" di f di x per dx.
E tu vedi da dove questo viene fuori, come queste notazioni siano vicine.
Sorprende il mio cervello su come esse siano connesse. Delta x era la larghezza di ciascuna di queste sezioni.
Questo qui è delta x. Quindi questo è un delta x. Questo è un'altro delta x. Questo è un altro delta x.
Un modo ragionevole di capire il concetto di cosa sia dx o di cosa sia un differenziale è questo:
a cosa si avvicina delta x se diventa infinitamente piccolo.
Quindi puoi vederlo, puoi concettualizzarlo... un modo standard molto rigoroso di pensarlo è a come un infinitamente piccolo - ma non zero- delta x.
E' un modo di afferrarne il concetto. Quindi, ancora una volta, se hai la funzione per un piccolo cambiamento in delta x
e stai facendo le somme, e stai sommando un numero infinito di queste cose da a a b...
Così ti lascio qui affinchè tu veda la connessione, tu consoci il nome di queste cose, e ancora una volta questa qui, questa non è la sola Somma di Riemann.
Infatti questa è chiamata la Somma sinistra di Riemann, se stai usando i rettangoli. Potresti usare la Somma destra di Riemann.
Potresti usare il punto di mezzo. Potresti usare i trapezioidi. Ma se prendi il limite di ciscuna di queste Somme di Riemann
quando n tende all'infinito, allora quello che ottieni è una definizione di Riemann di integrale.
Fin ora non abbiamo parlato su come effettivamente valutare questa cosa. Questa è solo una definizione per ora.
E questo lo faremo nei video futuri.