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Sono Adrien Douady.
Tutta la mia opera matematica si focalizza
sui numeri complessi.
Ho contribuito a far progredire la geometria algebrica
e la teoria dei sistemi dinamici.
Questi numeri hanno una lunga storia.
Qui a sinistra potete vedere Tartaglia e Cardano,
i pionieri, vissuti durante il Rinascimento.
A destra, Cauchy e Gauss,
che hanno consolidato la teoria nel diciannovesimo secolo.
I numeri complessi non sono
così complessi come si potrebbe credere!
All'inizio erano chiamati "i numeri impossibili"
e ancora adesso sono talvolta chiamati "immaginari",
perché, in verità, bisogna avere dell'immaginazione...
Oggi però questi numeri hanno invaso la scienza
e non sono più veramente misteriosi.
In particolare è grazie a loro che si possono
costruire begli insiemi frattali,
argomento su cui ho lavorato molto.
Ho pure realizzato un film; la dinamica del coniglio,
uno dei primi film di animazione matematici.
Vi spiegherò innanzitutto i numeri complessi alla lavagna.
Ai matematici piace scrivere con i gessetti...
vedrete come il righello, la squadra e il goniometro
abbiano talvolta dei comportamenti insoliti...
Tracciamo una retta graduata alla lavagna.
Una delle più belle idee matematiche
è di collegare la geometria all'algebra.
E' il punto di partenza della geometria algebrica.
Come si addizionano dei numeri, si possono addizionare dei punti.
Ecco un punto rosso sulla retta ed un altro blu.
Addizioniamo questi due punti.
Otteniamo il punto verde! Uno più due uguale tre!
Se i punti rossi e blu si spostano,
lo stesso vale per il punto verde che è la loro somma.
Ancora più interessante: si possono moltiplicare dei punti.
Osserviamo ad esempio la moltiplicazione per -2.
Essa trasforma il punto 1 nel punto -2.
E se si moltiplica ancora per -2,
dobbiamo fare lo stesso movimento:
cambiare di lato rispetto all'origine
e raddoppiare la distanza dall'origine.
Otteniamo, chiaramente, 4.
Se si moltiplica due volte di seguito per -2,
si moltiplica per 4.
La moltiplicazione per -1 è molto semplice.
Ogni punto è inviato nel suo simmetrico
rispetto all'origine,
vale a dire che bisogna effettuare un mezzo giro,
o, se preferite, una rotazione di 180 gradi.
Se si moltiplica un numero per se stesso,
il risultato è sempre positivo.
Per esempio, se si moltiplica per 1,
si ruota di mezzo giro;
dunque se lo facciamo una seconda volta,
ritorniamo al nostro punto di partenza!
E' per questa semplice ragione
che -1 per -1 dà 1.
Vedrete ad esempio che la moltiplicazione per -1
invia 2 in -2
e che se si moltiplica ancora per -1,
si ritorna in 2.
Tutto ciò è evidente, non è vero?
Non c'è quindi nessun numero che
moltiplicato per se stesso dia -1.
Detto in altri termini, -1 non ha radice quadrata.
Ma stiamo sottovalutando
l'immaginazione dei matematici!
Robert Argand, all'inizio del diciannovesimo secolo, ebbe una grande idea:
"visto che moltiplicare per -1
corrisponde a ruotare di 180 gradi,
la sua radice quadrata corrisponde a far ruotare di metà: di 90 gradi.
Se compio due volte un quarto di giro,
ho ruotato di mezzo giro!
Il quadrato di un quarto di giro è mezzo giro, dunque -1."
Bastava pensarci!
Argand dichiara dunque che la radice quadrata di -1
corrisponde al punto che è l'immagine di 1 dopo una rotazione di 90 gradi.
Ma, è chiaro, questo ci obbliga a uscire dalla nostra retta orizzontale
e decidiamo in questo modo di attribuire un numero
a dei punti del piano che non sono sulla retta!
Visto che come costruzione è un po’ bizzarra,
si dice che questo punto, radice quadrata di -1, è un numero immaginario
e i matematici lo denotano con i.
Adesso che abbiamo osato uscire dalla retta,
il seguito viene da sé.
Noi possiamo rappresentare 2i, 3i...
A tutti i punti del piano corrisponde un numero complesso
e reciprocamente ogni numero complesso definisce un punto sul piano.
I punti del piano sono diventati dei numeri a pieno titolo!
Questi numeri possono essere addizionati come dei numeri ordinari.
Guardate il punto rosso, che è il numero 1+2i;
aggiungiamogli 3+i, che è il punto blu.
Ebbene, possiamo semplicemente fare la somma,
come imparano i bambini.
La somma dà 4+3i.
Dal punto di vista geometrico corrisponde alla somma dei vettori.
Come potete vedere, i numeri complessi si sommano senza difficoltà!
Tuttavia, molto più interessante,
è il fatto che i numeri complessi possono anche moltiplicarsi,
esattamente come i numeri reali.
Vediamo un po’...
noi sappiamo moltiplicare un numero complesso per 2:
due volte 1+i dà
2+2i.
Dal punto di vista geometrico, moltiplicare per 2
è semplicemente una dilatazione per 2:
il doppio del punto rosso è il punto verde!
Moltiplicare per i non è particolarmente difficile,
visto che sappiamo che i corrisponde a ruotare di un quarto di giro.
Per moltiplicare 3+i per i,
basta quindi far ruotare il punto di un quarto di giro,
ottenendo il punto -1+3i.
Non sono poi così complessi i numeri complessi!
Ed infine, possiamo moltiplicare due numeri complessi
qualsiasi, senza nessun problema.
Proviamo ad esempio a moltiplicare 2+1,5i per -1+2,4i.
Si procede come di solito;
si moltiplica prima per 2 poi per 1,5i e si sommano i risultati.
Si ottiene dunque:
"due volte, aperta parentesi, eccetera eccetera"
Si ottiene
-2 + 4,8i - 1,5i + 3,6i per i.
Ora, ricordiamoci che i al quadrato dà -1;
è per questo che l'avevamo inventato!
Quindi otteniamo
-2 + 4,8i - 1,5i - 3,6.
Mettiamo un po’ d'ordine. Otteniamo
-2 - 3,6 + 4,8i - 1,5i,
vale a dire
-5,6+3,3i.
Ecco, adesso siamo capaci
di moltiplicare i numeri complessi;
in altri termini, sappiamo moltiplicare i punti del piano!
E' incredibile;
credevamo che il piano fosse di dimensione 2,
visto che servono due numeri
per descrivere la posizione di un punto qualunque,
ed ora vi dico che in realtà basta un solo numero!
Semplicemente, abbiamo cambiato l'insieme di numeri!
Ora lavoriamo con i complessi.
Abbiamo così l'occasione di definire due nozioni:
il modulo e l'argomento di un numero complesso.
Il modulo di un numero complesso z,
è la distanza dall'origine del punto che gli corrisponde sul piano.
Prendiamo il righello per misurare il modulo del punto rosso,
vale a dire il punto 2+1,5i.
Bene, abbiamo misurato una lunghezza di 2,5;
il modulo di 2+1,5i è dunque 2,5.
Per il punto blu troviamo 2,6.
E per il punto verde, che è il prodotto
del punto rosso e di quello blu,
troviamo 6,5.
Questo è un fatto generale: il modulo del prodotto di due numeri complessi
non è altro che il prodotto dei moduli dei due numeri.
L'argomento di un numero complesso
si ottiene misurando l'angolo tra l'asse delle ascisse
e la retta che congiunge l'origine al punto.
In questo caso per esempio l'argomento del numero complesso rosso
è uguale a 36,8 gradi.
Quello del punto blu è 112,6 gradi.
E quello del prodotto, il punto verde è di 149,4 gradi:
è la somma degli argomenti dei due numeri...
Quando si moltiplicano due numeri complessi
i moduli si moltiplicano e gli argomenti si sommano.
Terminiamo il nostro primo incontro con i numeri complessi
con la proiezione stereografica.
Prendiamo una sfera tangente alla lavagna nell'origine.
Per proiezione stereografica,
ad ogni punto del piano della lavagna,
vale a dire ad ogni numero complesso,
corrisponde un punto della sfera.
Solo il polo nord della sfera,
vale a dire il polo di proiezione,
non è associato ad alcun numero complesso.
Si dice che è associato all'infinito.
E' per questo che i matematici dicono che la sfera
è una retta proiettiva complessa.
Perché retta?
Perché abbiamo bisogno di un solo numero per descrivere i suoi punti!
Perché complessa?
Perché tale numero è complesso!
Perché proiettiva?
Perché, proiettando, abbiamo aggiunto un punto all'infinito.
Un po’ bizzarri questi matematici,
che dicono che una sfera è una retta!