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Riprendiamo la sfera S2 con i suoi paralleli.
Al di sopra di ogni punto di S2
dobbiamo immaginare un cerchio di Hopf.
Osserviamo che cosa abbiamo sopra un parallelo di S2,
per esempio l'equatore.
Ecco cosa c'è sopra un altro parallelo
che si sposta verso il sud.
Perché il toro sembra diventare sempre più esile?
Perché sopra il polo sud,
c'è solo un cerchio.
E al di sopra del polo nord, si vede una retta;
infatti, un cerchio che passa per l'infinito, è la retta rossa!
Coraggio, adesso facciamo ruotare tutto ciò.
Delle rotazioni, certo, ma delle rotazioni
nello spazio di dimensione 4, beninteso!
Ad essere onesti, devo dire che una parte di queste figure
era già conosciuta da molto tempo, ben prima di me.
Si attribuisce al marchese de Villarceau
l'esistenza di quattro famiglie di cerchi sul toro;
se ne trovano degli indizi, per esempio
in una scultura della cattedrale di Strasburgo.
Prendiamo un toro di rivoluzione:
è la superficie descritta da un cerchio
che gira intorno ad un asse situato nel suo piano.
Osserviamo la sezione del toro con un piano.
Notate come ho scelto tale piano.
Si dice che è bitangente al toro,
semplicemente perché è tangente esattamente in due punti.
Guardate bene, però,
il piano interseca il toro lungo due cerchi perfetti.
Ecco il teorema di Villarceau:
un piano bitangente ad un toro, taglia il toro lungo due cerchi.
Chiaramente, non esiste un solo piano bitangente.
Eccone un altro che lo taglia formando due altri cerchi di Villarceau.
E si può fare la stessa cosa con tutti i piani bitangenti:
basta ruotare.
Come vedete, per ogni punto di un toro di rivoluzione
si possono far passare quattro cerchi,
ottenuti tagliando lungo dei piani scelti "con criterio".
Uno dei cerchi è un parallelo,
un altro è un meridiano,
poi abbiamo un primo cerchio di Villarceau
ed un secondo.
Dato che possiamo fare la stessa cosa in un qualsiasi punto del toro,
si vede allora che il toro è ricoperto da quattro famiglie di cerchi.
Due cerchi di una stessa famiglia non si incontrano mai.
Un cerchio blu incontra un cerchio rosso in un solo punto.
Un cerchio giallo ed un cerchio bianco si incontrano in due punti:
sono i cerchi di Villarceau.
Guardate bene i cerchi gialli:
sono dei cerchi di Hopf!
Vi ricordate quando avevamo osservato
che cosa c'era sopra un parallelo nella fibrazione?
Si vedeva un toro riempito di cerchi allacciati due a due,
esattamente come questo toro composto di cerchi gialli.
E i cerchi bianchi, vi chiederete?
Ebbene, sono le fibre..di un'altra fibrazione di Hopf!
Quella ottenuta guardando la prima in uno specchio...
Per terminare il nostro viaggio,
prendiamo un toro di rivoluzione
con le sue quattro famiglie di cerchi,
immaginiamolo nella sfera S3,
poi facciamo ruotare la sfera nello spazio di dimensione 4,
infine proiettiamola stereograficamente
nello spazio di dimensione 3.
Otteniamo in questo modo delle superfici,
che sono anch'esse rivestite da quattro famiglie di cerchi:
sono le ciclidi di Dupin.
Talvolta, quando il toro passa per il polo di proiezione,
la superficie passa all'infinito...
In questo movimento, le due facce possono anche scambiarsi.
L'interno del toro è di colore rosa, l'esterno di colore verde;
una semplice rotazione nella quarta dimensione e... ecco!
Il verde diventa rosa e il rosa diventa verde.
Non è magnifico?