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X
Siamo al problema numero 48.
Esso dice se x al quadrato viene addizionata a x, la somma è 42.
Esso dice, se x al quadrato è aggiunto a x, la somma è uguale a 42.
Dunque scriviamolo.
Se a x al quadrato viene aggiunto x, la somma è uguale a 42.
Quale dei seguenti potrebbe essere il valore di x?
Quindi, in sostanza vogliono solo che noi risolviamo questa equazione.
Quindi il modo più semplice per farlo è quello di scriverlo come un quadratica
eguagliando 0 e poi fattorizzandolo.
Pertanto possiamo scrivere questo come x al quadrato più x meno 42 è
uguale a 0.
Pensiamo.
Quali due numeri una volta sommati danno 1, e quando io
li moltiplico fra loro danno meno 42?
Ed il fatto che quando li moltiplico equivalgono a meno 42
mi dice che uno di loro deve essere positivo ed uno
deve essere negativo.
Questo è l'unico modo in cui quando moltiplichi due numeri
avrai un numero negativo.
Così uno di loro deve essere positivo, uno di loro deve
essere negativo.
E così quando aggiungiamo un positivo e un negativo,
in realtà trovi la differenza tra i 2.
Quindi la differenza tra 2 numeri deve essere 1 e
il loro prodotto deve essere 42.
E mi rendo conto quando vedo 42, immediatamente
penso, oh ,6 e 7.
6 volte 7 fa 42.
E poiché quando li sommi ottieni un 1 positivo, 7 è
probabilmente l'uno positivo e meno 6 o 6 è probabilmente il
negativo.
Quindi proviamo.
x più 7 volte x meno 6 è uguale a 0.
E giusto, 7 volte meno 6 è meno 42.
E' realmente 7x più meno 6x è uguale a x positivo.
O potresti pensare 7 più meno 6 è uguale al
coefficiente sulla x, che è 1.
Ma in ogni modo, questo funziona.
E potresti sviluppare le moltiplicazioni e provare.
E tutto ciò che sto dicendo, non è voodoo.
La ragione per cui dico che essi devono dare per somma 1 è
perché quando sviluppi le moltiplicazioni di questo, ciò è quello
che costruisce questo termine.
Questo 7 volte x più il meno 6 per l'altro x.
Questo è ciò che costruisce questo termine quando sviluppi le moltiplicazioni.
Questo termine viene dalla x per x.
Il meno 42 viene dal 7 per il meno 6.
In ogni modo, ora siamo a questo punto.
Diciamo OK, bene come otteniamo--abbiamo due cose che quando
le moltiplichi sono eguali a 0.
Bene questo significa che una di loro o entrambe di loro debbono
essere eguali a 0.
Quindi questo significa che x più 7 è uguale a 0, che significherebbe
sottrarre 7 da entrambi i lati.
Che significa x è uguale a meno 7.
O x meno 6 è uguale a 0.
Aggiungi 6 a entrambi i lati. x è uguale a 6. x
sarebbe 6 o meno 7.
E loro hanno una delle scelte là,
che era la risposta A.
Prossimo problema.
49.
Quale quantità dovrebbe essere aggiunta ad entrambi i lati di questa equazione
per completare il quadrato?
Quindi quando completi il quadrato vuoi che le cose
sembrino proprio come--vuoi che qualsiasi cosa sul membro sinistro
somigli a un quadrato perfetto.
E cosa voglio dire con quadrato perfetto?
Quindi se avessi x più un quadrato, questo è uguale a x più a
per x più a .
E questo è uguale a x per x, x al quadrato.
x per questo a, quindi questo è più ax.
E ora questo a per questo x.
Quindi questo è un altro x.
Più questo per questo a.
Quindi più un quadrato.
E questo è uguale a x al quadrato.
Più--abbiamo due di questi ora--più 2ax più un quadrato.
Quindi essenzialmente vogliamo questo, vogliamo che il membro sinistro
abbia questa forma.
Quindi diciamo, questo è un quadrato perfetto.
Possiamo dire che questo è la stessa cosa di x più a al quadrato.
Quindi pensiamo a come possiamo farlo.
Se abbiamo x al quadrato meno 8x è uguale a 5 e metto
uno spazio qui per una ragione perché vogliamo aggiungere o
sottrarre qualcosa qui in modo che somigli a un quadrato perfetto.
Allora pensaci sù.
Quando abbiamo questo format, affinché le cose siano un
quadrato perfetto, quale che sia questo coefficiente qui,
questo termine qui deve essere la metà di questo, al quadrato.
a al quadrato è la metà di 2a al quadrato.
Quindi se prendiamo la metà di meno 8, quello è meno 4.
In questo caso, se dicessimo 2a è uguale a 8, a
sarebbe meno 4.
E quindi cos'è meno 4 al quadrato?
E' più 16.
E questa è un'equazione.
Quindi quello che fai su un lato di un'equazione lo devi fare
sull'altro lato dell'equazione.
Quindi devi dire che questo è anche uguale a .
Quindi devi aggiungere 16 ad entrambi i lati.
Altrimenti stai cambiando l'equazione.
Ora questo, si spera, lo riconosci come già un
quadrato perfetto.
Voglio dire che potresti guardare a questo schema qui sopra o pottresti
dire, OK, se aggiungo meno 4 a sé stesso due volte ottengo meno 8.
Se lo moltiplico per sé stesso ottengo 16.
Quindi questo è meno 4 al quadrato.
Questo è uguale a 25.
E praticamente, se sei curioso--e lo abbiamo fatto in
Khan Academy, abbiamo fatto un paio di video su questo--
questo è come dimostrare l'equazione quadratica.
Tu completi il quadrato con numeri arbitrari
a, b, e c, e ottieni l'equazione quadratica.
Tu sai, lo mostreremo tra 10 minuti, quindi non è quella cosa
impossibile da capire.
Vogliono solo sapere, cosa aggiungi ad entrambi i lati di
questa equazione?
Quale quantità dovrebbe essere aggiunta ad entrambi i lati di questa equazione
per completare il quadrato?
Quindi la risposta a questa era 16.
Ma avrebbero potuto dire egualmente, risolvila
completando il quadrato.
E ti avresti detto oh, x meno 4 al quadrato è uguale a 25.
Quindi x meno 4 è uguale a più o meno 5.
E allora potresti dire, x è uguale a più o
meno 5 più 4.
E allora potresti dire, OK, il quale è 4 più
5 positivo è 9.
4 più meno 5 è--o, meno 1.
Ad ogni modo, non ci chiedono questo, quindi non dobbiamo
spendere troppo tempo a pensarci.
.
Vediamo, siamo al problema 50.
Fammi vedere, problema 50.
Copierò e incollerò 50 e 51.
Tutto bene, quali sono le soluzioni per
l'equazione quadratica x al quadrato più 6x è uguale a 16?
E la tentazione qui è veramente del tipo di cercare di risolvere
come fai per le equazioni lineari.
Non so, evidenzia una x e-- non so, fai
qualsiasi altra cosa.
Ma la cosa importante da riconoscere è che questa è una
equazione quadratica.
E il modo più veloce per risolverla è mettere tutti i termini
da una parte e avere uno 0 dall'altra.
E poi o evidenziare un fattore o usare
l'equazione quadratica.
O completa il quadrato, qualsiasi cosa bisogna fare.
Quindi sottraiamo 16 da entrambi i lati.
E ottieni x al quadrato più 6x meno 16 è uguale a 0.
Ho solo sottratto 16 da entrambi il lati per giungere qui.
E prima di saltare nell'equazione quadratica,
vediamo se possiamo evidenziare un fattore a prima vista.
Quindi quali due numeri, quando li sommo, sono uguale a 6-- enoi
vogliamo 6 positivo-- e quando li moltiplico sono eguali a meno 16?
E di nuovo, dal momento che è meno 16, se tu moltiplichi due
numeri ottieni un numero negativo.
Essi devono avere segni diversi.
Uno deve essere positivo e uno deve essere negativo.
E la loro differenza sarà 6 perché uno è positivo e
uno è negativo.
Allora lascia che ci pensi sù.
Quindi se avessi meno-- bene, 8 e 2 è uguale a 16.
E essi divergono di 6.
Quindi se io facessi più 8 e meno 2-- giusto.
Più 8 e meno 2 è 6 positivo.
Quindi è x più 8 per x meno 2.
E per questo ci vuole veramente molto esercizio.
Tu dici, OK, quali due numeri?
16.
OK.
8 e 2.
Bene, dovranno essere di segni diversi.
Ma ho uno positivo qui, quindi quale che sia il numero
più grande probabilmente esso sarà quello positivo.
Quindi 8 positivo e meno 2.
Ah, quando li sommi, danno meno 6.
Ah, funziona.
Quindi poni questo uguale a 0.
E dici OK, questo deve essere uguale a 0, o quello deve essere
uguale a 0.
Quindi anche x è uguale a 8.
Se dici che x più 8 è uguale a 0 allora sottrai 8 da ambo
i lati, ottieni che x è uguale a mano 8.
Non avrei dovuto saltare questo passaggio, ma
farò il passaggio qui.
O potresti dire x meno 2 è uguale a 0.
Aggiungi 2 ad entrambi i lati, ottieni x è uguale a 2.
Quale x rende questo termine uguale a 0?
E potresti guardarlo dal di dentro.
Quindi x potrebbe essere meno 8 o 2, e questa è la risposta C.
Problema 51.
Leanne ha risolto correttamente l'equazione x al quadrato più 4x
è uguale a 6 completando il quadrato.
Quale equazione fa parte della sua soluzione?
OK, allora la stessa cosa.
x al quadrato più 4x.
E quando completi il quadrato, aggiungi
qualcosa qui.
Quindi lascio un piccolo spazio vuoto qui.
E' uguale a 6.
Così cosa potrei aggiungere qui per rendere questa espressione
un quadrato perfetto?
Bene, vai allo schema che abbiamo sviluppato
un paio di problemi fa.
Qualsiasi cosa sia qui dovrebbe essere il quadrato di metà di questo.
Quindi 4-- bene, metà di questo è 2.
2 al quadrato è 4.
Quindi dovrei aggiungere 4 a questo lato.
Se aggiungo 4 a questo lato, ho da aggiungere 4 pure a
a questo lato.
E ora questo 2 più 2 è uguale a 4.
2 per 2 è uguale a 4.
Quindi questo è x più 2 al quadrato.
E veramente voglio che tu colga l'intuizione.
Non memorizzare i passaggi per completare il quadrato.
Voglio che tu capisca veramente il perché.
Questo è il quadrato di metà di questo.
E lo abbiamo mostrato all'inizio.
Eleva al quadrato molti binomi e renditi conto che questo è
è sempre il caso.
Ad ogni modo, quindi questo è 2 al quadrato.
Questo sarà uguale a -- 6 più quattro è uguale a 10.
E questa è la risposta B.
.
Credo che abbiamo tempo per un altro ancora.
Un altro problema ancora, problema 52.
Copiato e ora l'ho incollato.
Carter risolve questa equazione fattorizzando.
Quale espressione potrebbe essere uno dei fattori corretti?
ancora una volta, mi piace personalmente trovare il
numero che va in tutti loro.
E tutti questi sono divisibili per 5.
E questo semplicemente lo semplifica nella mia testa.
Quindi se divido tutti questi per 5-- praticamente, potrei semplicemente
dividere ambo i lati di questa equazione per 5.
0 diviso 5 è 0.
E allora questo membro sinistro diviso 5 diventa 2x
al quadrato meno 5x più 3 è uguale a 0.
Quindi se questo è 2x al quadrato qui, quindi saranno due
numeri quando li moltiplichi danno 3 e quando-- quindi
pensiamoci un po' sù.
Praticamente, lascia che lo scriva qui perché credo che avrò bisogno
di più spazio.
2x al quadrato meno 5x più 3 è uguale a 0.
E ho semplicemente diviso ambo i lati dell'equazione
per 5 per ottenere questo.
Quindi vediamo cosa possiamo fare qui.
Quindi abbiamo 2x al quadrato qui e loro già
ci hanno tipo suggerito che avremo una soluzione intera,
quindi possiamo fattorizzarlo.
Quindi l'intuizione è che questo sarà 2x per-- lo
sai, più qualcosa.
Più a.
Per-- per cosa?
Per probabilmente x, giusto?
2x per x è 2x al quadrato.
Ora questo non sarebbe del tutto ovvio se non
ci avessero già detto che potevamo fattorizzare.
Potresti dover usare una
equazione quadratica o qualcosa.
Praticamente, l'equazione quadratica non sarebbe qualcosa
di pazzesco da usare qui perché puoi solo
tipo inserire e provare.
Ma vediamo se possiamo cogliere l'intuizione.
Quindi sarà 2x più qualcosa per x più
qualcos'altro.
Se dovessimo sviluppare la moltiplicazione, otteresti 2x per x è 2x
al quadrato come dev'essere.
2x per b è 2bx.
a per x è più ax.
a per b è più ab.
E quindi vediamo cosa otteniamo.
.
Quindi 2b più ax più ab.
2x al quadrato.
OK, ora possiamo fare le combinazioni schematiche.
Questa era la nostra cosa originale.
Quindi 2 per b più a deve essere uguale a -- questo termini è
la stessa cosa di questo termine qui.
E questo termine deve essere la stessa cosa di
questo termine qui.
Quindi prima di tutto, ho questo 3 positivo qui.
Quindi sto moltiplicando due numeri per avere un 3 positivo.
Quindi devono essere o entrambi positivi o entrambi negativi.
E poi l'altra cosa interessante che abbiamo-- quando prendo
2 per uno di loro più l'altro,
ottengo un numero negativo.
Quindi il solo modo quando tratti coi numeri negativi,
e quando semplicemente lo moltiplichi per un positivo e li sommi
l'un l'altro ottieni un altro negativo, è se essi sono
entrambi negativi.
Questo ci dice che entrambi devono essere negativi
perché questo è positivo.
E allora poiché quando li sommi senza alcun segno
negativo ottieni un numero negativo, ciò ti dice che
deve essere pure negativo.
Vediamo.
Proviamo 3-- 3 negativo e 1 negativo.
Se 3 negativo e 1 negativo.
Quindi sei nel giusto.
Ah.
Se b è uguale a meno 1 e a è uguale a meno 3, allora 2
per meno 1 è meno 2.
Meno 3.
Corretto, quindi b è uguale a meno 1 e a è uguale a meno 3.
Questa è un pezzo di opera d'arte qui.
Voglio dire che non c'è un inserisci e funziona, un modo meccanico
di farlo.
L'equazione quadratica è un modo, ma questa è la migliore via che,
almeno, io conosco per farlo senza.
Quindi, sappiamo cosa siano a e b.
Quindi è 2x-- a è meno 3.
2x meno 3 per x più b meno 1.
Quindi questa è la fattorizzazione.
Quindi 2x meno 3 per x meno 1, quale?
Hanno questo proprio qui.
2x meno 3.
E sono fuori tempo massimo.
Arrivederci al prossimo video.