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La forza di attrazione gravitazionale è una forza conservativa. Questo vuol dire che il
lavoro compiuto dalla forza gravitazionale non dipende dal percorso, ma dipende solo
dalle posizioni iniziale e finale. Consideriamo il caso semplice di un corpo fermo, come potrebbe
essere il sole, di *** m_1 al centro di un sistema di riferimento, ed un corpo di
*** m_2 che si muova di una certa traiettoria. Per fare i calcoli in maniera più agevole,
ipotizziamo di utilizzare una traiettoria rettilinea e in particolare una traiettoria
diretta proprio come la congiungente tra i due corpi. Cioè, ipotizziamo di partire da
una certa distanza r_1 tra i due corpi e di spostare solo uno di essi, ad esempio, in
questo caso, il corpo m_2, verso una distanza in questo caso maggiore, cioè ci allontaniamo, e quindi
arriviamo ad una distanza r_2. La forza di attrazione gravitazionale, ricordiamoci, che è
pari ad F=-γm_1m_2 diviso il raggio al quadrato, la distanza al quadrato per il
versore u_r, che unisce i due corpi. Ora, se andiamo da una distanza r_1 ad una distanza
maggiore r_2, la forza attrattiva compirà un lavoro negativo, resistente, sulla ***,
in quanto lo spostamento è diretto in direzione opposta. Cioè, possiamo indicare qui la forza
attrattiva gravitazionale sul corpo due, e lo spostamento, invece, dl. Questo vettore è verso
destra, questo verso sinistra, quindi ci sarà un segno meno. Andiamo a calcolare questo
lavoro: il lavoro, W, è pari all'integrale della forza tangenzialmente allo spostamento
per dl. Quindi, andiamo a prendere la forza gravitazionale, γ e le due masse sono delle
costanti, quindi le posso portare fuori dal simbolo dell'integrale, quindi ho γ m_1m_2,
e poi ho l'integrale di (1/r²)dl. Proprio perché abbiamo scelto di spostarci lungo
la congiungente, quindi ci spostiamo solo in r, si allunga o si accorcia la distanza,
ma non cambia la direzione; la forza è già proiettata lungo la tangente allo spostamento,
in quanto lo spostamento è parallelo alla forza. E quindi, abbiamo qui uno spostamento
dr, cioè il dl, spostamento lungo la linea l, è pari allo spostamento lungo la radiale
r, diviso r² e questo deve essere integrato tra la posizione iniziale r_1 e la
posizione finale r_2. Infine, aggiungiamo qui davanti un segno -, in quanto, nel
processo di proiezione della forza lungo lo spostamento, sappiamo che la forza è attrattiva
e lo spostamento è in direzione opposta, e quindi il lavoro, come ho detto un attimo
fa, della forza gravitazionale è negativo. Ora, quindi, integriamo 1/r² in dr, che
fa -1/r, e quindi questo è pari a -γm_1m_2*(-1/r) valutato tra i due estremi r_1 ed r_2.
Quindi, in definitiva, il lavoro è pari a -γm_1m_2*(-1/r_2+1/r_1). Quindi, questo
meno lo portiamo dentro la parentesi, quindi questo è pari a (γm_1m_2)/r_2 meno (γm_1m_2)/r_1.
Quindi, vediamo che il lavoro compiuto dalla forza gravitazionale su un corpo che si sposti
da una certa distanza r_1 ad una certa distanza r_2 generica è pari alla differenza tra due
termini. Come ho detto prima, la forza gravitazionale è una forza conservativa e quindi il lavoro
non dipende dal percorso, ma solo dalle posizioni iniziali e finali, in questo caso dalle distanze
iniziali, r_1, e finali, r_2. Quindi, queste due espressioni sono effettivamente
l'energia potenziale gravitazionale. Noi sappiamo che per le forze conservative il lavoro è
pari a meno la variazione dell'energia potenziale. Quindi, possiamo identificare questa energia
potenziale e scriverla nel nostro formulario. Cioè, l'energia potenziale gravitazionale
U è pari a -γ il prodotto delle masse m_1m_2 diviso la distanza.
Quindi, per la forza gravitazionale, l'energia potenziale definita nulla all'infinito, cioè
quando le due masse si trovano a distanza infinita, questo è r, questa è U, è pari
a 0 e l'energia è quindi un ramo di iperbole nel quarto quadrante e diventa negativa e
sempre più piccola man mano che i due corpi si avvicinano.