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Mi chiamo Ludwig Schläfli
e sono un geometra svizzero;
sono vissuto nel diciannovesimo secolo
e sarò io a aprirvi le porte della quarta dimensione!
Non usiamo mezzi termini: sono un visionario.
Sono uno dei primi ad avere realizzato
che gli spazi con un grande numero di dimensioni
esistono veramente
e che possiamo studiarne la geometria.
Gli esseri piatti che vivono in un piano
possono comprendere l'esistenza di poliedri in dimensione 3.
Perché noi non dovremmo comprendere i poliedri in dimensione 4?
Uno dei miei più grandi contributi
è stato descrivere tutti i poliedri regolari in dimensione 4.
Che cosa è la quarta dimensione?
Molte cose sono state scritte a questo proposito;
gli scrittori di fantascienza si danno alla pazza gioia!
Vi spiegherò alla lavagna...
una lavagna un po` magica, in verità!
L'importante è prepararsi a fare astrazione dal mondo
a cui siamo abituati
ed immaginare un mondo
al quale i nostri occhi e i nostri sensi non danno direttamente accesso.
Dobbiamo fare prova di astuzia, esattamente come i rettili.
Adesso salirò su un promontorio,
che voi purtroppo non potrete vedere,
e cercherò di descrivervi cosa vedo.
Prima però traccio una retta alla lavagna.
Fisso un'origine.
Ogni punto su questa retta
può essere trovato in riferimento alla sua distanza dall'origine,
munita di un segno meno se il punto si trova a sinistra
e di un segno più se è a destra.
Di solito si denota questo numero con x
e lo si chiama ascissa.
Dato che la posizione di un punto su una retta
è descritto da un solo numero,
si dice che la retta ha dimensione 1.
Ora traccio un secondo asse,
perpendicolare al primo.
Ogni punto del piano della lavagna
è ora perfettamente descritto da due numeri,
che di solito sono denotati con x e y: l'ascissa e l'ordinata.
Il piano è di dimensione 2.
Se aveste dovuto spiegare ad un essere che vive su una retta
che cosa è un punto sul piano, che lui non può conoscere,
avreste potuto semplicemente dirgli:
"un punto nel piano è un dato costituito da due numeri"
Passiamo alla terza dimensione.
Il gesso scrive nello spazio
e traccia un terzo asse, perpendicolare agli altri due.
Un punto nello spazio è descritto da tre numeri,
x, y e z.
Si potrebbe dire ai rettili,
curiosi di sapere che cosa è il nostro mondo:
"un punto nello spazio corrisponde a dare tre numeri".
Passiamo alla quarta dimensione.
Possiamo tentare di disegnare un quarto asse
perpendicolare agli altri, ma ciò è impossibile!
Allora, bisogna procedere in un modo diverso.
Certo, possiamo semplicemente dire
che un punto nello spazio di dimensione 4,
è il dato costituito da quattro numeri, x, y, z e t.
Tuttavia non è che questo ci chiarisca le idee!
Ciononostante cerchiamo di farci,
malgrado tutto, una idea intuitiva di questa geometria.
Un primo metodo consiste
nel procedere per analogia.
Ecco un segmento...
... poi un triangolo equilatero...
ed infine un tetraedro.
La nostra lavagna magica ci permette di disegnare nello spazio.
Come continuare questa successione in dimensione 4?
Si può osservare che il segmento, il triangolo, il tetraedro,
hanno rispettivamente 2, 3 e 4 vertici.
Possiamo quindi tentare di continuare con cinque vertici!
Proviamo.
Nel segmento, nel triangolo o nel tetraedro,
ogni vertice è congiunto da uno spigolo ad ogni altro.
Noi dobbiamo congiungere i cinque vertici tra di loro.
Contiamo
uno spigolo,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 spigoli.
Nel tetraedro
c'è una faccia triangolare per ogni insieme di tre spigoli.
Se procediamo in modo analogo
troviamo una faccia triangolare,
2, 3,..., 10 facce.
Ma se si vuole continuare con l'analogia,
bisogna anche aggiungere una faccia tetraedrica
per ogni insieme di quattro vertici.
Ne troviamo 5.
Abbiamo costruito il nostro oggetto quadridimensionale.
Chiamiamolo "simplesso"!
Facciamolo ruotare nello spazio
come abbiamo fatto con il tetraedro.
Certo, bisogna immaginare che il simplesso ruoti
in uno spazio di dimensione 4;
inoltre, ciò che vedete è solo una proiezione sulla lavagna.
Quello che complica un po’ le cose,
è il fatto che le facce si mischino e si incrocino.
Ebbene sì, bisogna avere un po’ di esperienza per vedere in dimensione 4
Possiamo prendere il simplesso,
che vive nella quarta dimensione,
e spostarlo in modo che intersechi,
progressivamente, il nostro spazio di dimensione 3.
Nello stesso modo in cui i rettili
vedevano un poligono che appariva e poi scompariva,
noi vediamo un poliedro di dimensione 3,
che appare, si deforma e poi scompare.
Ecco! Il simplesso ha attraversato il nostro spazio di dimensione 3.
Faremo ora conoscenza
con altri poliedri di dimensione 4,
che attraversano il nostro spazio di dimensione 3.
Ecco l'ipercubo, che generalizza la famiglia
che comincia con il segmento, il quadrato e il cubo.
Bisogna riconoscerlo; farsi un'idea intuitiva con il metodo delle sezioni
che abbiamo appena usato è ben difficile...
Ho scoperto l'analogo dell'icosaedro e quello del dodecaedro.
Portano dei nomi complicati,
ma li chiamerò semplicemente il 120 e il 600
dato che il primo ha 120 facce e il secondo ne ha 600.
Osservate il 120 che attraversa il nostro spazio.
Ed ecco il 600.
Chiaramente, se dico che un poliedro di dimensione 4 ha 600 facce,
sto parlando delle sue facce tridimensionali.
Come vedete le 600 facce sono tutte dei tetraedri.
Il 120, invece, è costituito da 120 dodecaedri.
Impareremo tra poco a conoscerli meglio.
Per osservare oggetti quadridimensionali
con i nostri occhi tridimensionali,
possiamo servirci delle loro ombre.
Gli oggetti sono nello spazio di dimensione 4
e li si proietta sul nostro spazio di dimensione 3
esattamente come un artista proietta un paesaggio sulla sua tela.
E' quello che abbiamo già fatto con il simplesso.
Ecco l'ipercubo.
Ruota nello spazio,
per permetterci di apprezzarne i dettagli.
Vedete ad esempio che l'ipercubo ha 16 vertici.
Ecco un nuovo arrivato.
La mia più bella scoperta.
Un oggetto che chiamerò "il 24"
che non ha analogo in dimensione 3.
Una creatura puramente quadridimensionale.
Sono molto fiero d'averlo scoperto.
Ammirate! 24 vertici, 96 spigoli, 96 triangoli e 24 ottaedri.
Una meraviglia!
Ecco l'ombra del 120.
In tutta la sua maestosità!
Maestosità complessa, bisogna pur dirlo!
Penetriamo al suo interno ed esaminiamone la struttura.
Ammirate: 600 vertici, 1200 spigoli.
Da ogni vertice partono 4 spigoli.
Una struttura completamente regolare.
Tutti i vertici, tutti gli spigoli giocano lo stesso ruolo.
E dire che la proiezione rompe, in un certo senso, la regolarità dell'oggetto.
Fate uno sforzo di immaginazione.
Immaginate l'oggetto nello spazio di dimensione 4,
in cui un enorme gruppo di rotazioni
permuta tutti questi vertici e questi spigoli.
Ecco il campione, il 600.
Come una gigantesca macromolecola
con i suoi 720 spigoli e 120 vertici.
12 spigoli partono da ogni vertice.
La nostra avventura con i poliedri
di dimensione 4 non termina qui;
c'è da scommettere che le loro proiezioni stereografiche
ce ne daranno un'intuizione ancora migliore.