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TONY PADILLA: I ragazzi di Aperiodical hanno lanciato
una piccola sfida per trovare la sequenza "piu' intera" del 2013.
E' per divertirsi.
Non e' una cosa seria.
In pratica, hanno guardato l'enciclopedia online delle
sequenze di interi e hanno indetto una competizione per
vedere quale e' la migliore.
Ed e' basata su varie categorie, come estetica,
novita', esplicabilita', completezza,
questo genere di cose.
E' solo per divertirsi un po'.
Ma abbiamo pensato di farvi dare un'occhiata a queste sequenze.
E non vi diro' quale e' la mia preferita, questo
me lo terro' per la fine.
Faro' la mia migliore faccia da poker per cercare
di tenerla segreta.
Dunque la prima nell'ordine ha a che fare con
l'espansione decimale di una certa costante.
L'espansione decimale della costante di Khinchin e' la
seguente 2.6854.
OK, non sembra molto interessante, se ci
si limita a guardarla.
La costante di Khinchin e' in realta' un numero molto notevole.
Praticamente, se prendete un numero qualunque, o quasi ogni numero
per essere piu' precisi-- quasi tutti i numeri--
e vi calcolate la sua espansione
come frazione continua...
Quindi per esempio, prendiamo un numero generico, x, e sappiamo
che possiamo scrivere che e' uguale ad a0 piu' 1 diviso a1
piu' 1 diviso a2 piu'--
e cosi' via.
Si continua ad andare avanti cosi'.
Questa si chiama-- questi a0, a1 a2 e tutti questi
sono chiamati espansione in frazione continua.
Diciamo allora che prendo il prodotto di tutti questi coefficienti a.
Prendo a1 per a2--
trascuriamo a0--
per a3 e cosi' via, fino ad an.
E prendo la media geometrica, quindi semplicemente
la potenza 1/n di questo.
E vedo cosa mi da' man mano che n si avvicina ad infinito.
E per n che tende a infinito, si va verso la costante di Khinchin.
E questo vale per quasi ogni numero.
E' fantastico.
Penso sia una cosa fantastica.
E ora ovviamente mi dirai
che, beh, non e' vero per un sacco di
numberi che ti vengono in mente.
Non e' vero per un mezzo, per esempio, perche' l'espansione
in frazione continua di un mezzo non e'--
insomma, chiaramente, se prendete qualunque numero razionale, potete ottenere praticamente
ogni numero come risultato facendo questo processo,
Ma invece con la maggiorparte dei numeri il risultato e' la nostra costante, questa e' la cosa pazzesca.
Quasi ogni numero.
Nessun numero razionale lo fara', ma la maggiorparte dei numeri lo fanno.
Pi greco, per esempio, si pensa-- quando fate l'espansione
e calcolate questo numero per pi greco, vi aspettate di ottenere
la costante di Khinchin.
Khinchin ha dimostrato che quasi tutti i numeri lo fanno.
Con questo intende tutti i numeri eccetto una specie di--
praticamente un insieme infinitamente piccolo.
E la cosa bella in tutto cio' e' che K0 stessa, che
sembra "conoscere" quasi tutti i numeri,
"conosce" anche se stessa.
Perche' si pensa, anche se cio' non e' stato dimostrato,
che K0, quando fate questa espansione per essa, in media fa...
Fate la media e rida' di nuovo se stessa.
Quindi se volete, se c'e' un numero che ha...
se dio avesse un numero, sarebbe questo numero, perche'
conosce quasi tutti gli altri numeri e anche se stesso.
E', si puo' dire, meravigliosamente contenuto in se stesso.
OK, passiamo alla seconda sequenza nell'ordine:
i primi di Wieferich.
E in pratica ci sono solo due numeri in questa sequenza
che si conoscono, 1,093 e 3,511.
Chi sono questi signori?
I primi di Wieferich sono numeri primi p, tali che p
al quadrato divide 2 alla p meno 1 meno 1.
Ed e' vero per questi due numeri.
Non sappiamo se vale per qualche altro numero.
MI interessava sapere se ce ne sono di piu' grandi
di questi.
E ho trovato in effetti un articolo che dice che, beh,
hanno fatto una ricerca per i primi di Wieferich fino a 6.7
per 10^15 e non ne hanno trovati altri.
Quindi avete questi due piccoli signori, e poi nulla piu'
almeno fino a quel punto.
Quindi il successivo della serie sara'
un numero enorme, se davvero esiste.
Il motivo per cui Wieferich era interessato a loro e' che
pare abbiano qualcosa a che fare con l'ultimo teorema di Fermat.
Stava provando a dimostrare l'ultimo teorema di Fermat.
La ragione e' che Wieferich dimostro' i seguenti risultati:
prendete x alla p piu' y alla p piu' z alla p
uguale a 0.
x, y, e z sono interi.
E supponiamo che p non sia un divisore di zyx, allora potete
dimostrare-- questo e' quello che Wieferich ha fatto--
che p deve essere uno di questi primi di Wieferich.
OK, la terza e' la sequenza di Golomb.
Questa e' la serie di Golomb.
BRADY HARAN: Gollum, come nel "Signore degli Anelli?"
TONY PADILLA: Si.
Bene, questo signore ha un nome fantastico--
Solomon Golomb.
E' il nome piu' fico del mondo, no?
E' un tipo parecchio interessante.
E' un matematico che ha inventato i pentamini, che sono
un gioco matematico.
Che e' stato di fatto un precursore del Tetris.
Quindi Solomon Golomb fu la persona che,
in pratica, invento' il Tetris.
Com'e' la sua sequenza?
La sua sequenza e' la seguente--
1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, e cosi' via.
E cosa ci dice questa sequenza?
Beh, questa sequenza contiene delle informazioni su se stessa, perche'
la posizione ennesima nella sequenza vi dice quante volte
il numero n appare nella sequenza.
Cominciamo con la prima posizione.
La domanda e', quante volte
appare 1 nella sequenza?
La risposta e' che appare una volta sola.
Puo' apparire solo una volta.
Non potrei metterci un 2 qui, non avrebbe senso.
Passo successivo.
Ora mi chiedo, quante volte appare il numero 2
nella sequenza?
Come vedete, 2 volte.
E' per forza 2.
Non poteva essere 1, perche' altrimenti 1 apparirebbe due volte
e dovrei mettere 2 qui, vedete?
Quindi ha senso che debba essere 2.
Poi passiamo alla terza mossa nella sequenza, che e'
la posizione qui.
Ora chiedo quante volte
appare 3 nella sequenza?
Ma ho gia' detto che 2 doveva apparire 2 volte.
Quindi devo metterci 2 li', e il numero di volte che 3 deve
apparire nella sequenza deve essere 2.
Ed eccoli qui, i punti successivi della sequenza.
E continuate cosi'.
Continuate ad andare avanti in questo modo.
In questa posizione la domanda e', quante volte appare 4
nella sequenza?
Beh, siete qui.
Appare 3 volte.
E cosi' via.
E costruite la sequenza in questo modo.
Si puo' dire che conosce se stessa.
Sembra quasi che non sia cosi'--
forse ha fatto un po' di terapia o qualcosa del genere.
E' come se conoscesse la sua essenza interiore..
Ora c'e' una piccola--
un'altra caratteristica di questa sequenza e' che quando si arriva a
numeri molto, molto grandi, dove
tende la sequenza?
Tende alla cosa seguente.
La posizione ennesima di questa sequenza tendera' verso phi
2 meno [INCOMPRENSIBILE] phi n phi meno 1.
Cos'e' questo?
OK, questo e' n.
Cos'e' questa cosa, [INCOMPRENSIBILE] questa roba con phi che ho scritto,
questa lettera greca?
E' il rapporto aureo.
Appare semplicemente dappertutto!
La successiva sono i piu' grandi metadromi.
Di che si tratta?
Un metadromo e' un numero che appare in--
dove le cifre appaiono in ordine strettamente decrescente.
Lasciatemi scrivere la sequenza prima.
0, 1, 5, 27, 194, 1865, eccetera.
Sono i metadromi piu' grandi, quindi i numeri piu' grandi che potete
scrivere in cui tutte le cifre sono in ordine
strettamente decrescente in base n.
OK, quindi, prima posizione.
Questo e' 0 in base 1.
OK, e' il primo, quindi sara' qualcosa
in base 1.
E il numero piu' grande che possiamo scrivere con cifre strettamente decrescenti
in base 1 e' 0.
Quindi questo e' 0 in base 1.
Questo, il successivo, 1, cos'e'?
E' 1 in base 2.
Quindi il numero piu' grande che si puo' scrivere.
Le cifre sono tutte in ordine decrescente, in base 2
perche' siamo nella seconda posizione.
Questi due non sono molto eccitanti.
Diventa un po' piu' interessante quando si arriva
al numero successivo.
Sappiamo cosa deve essere questo numero.
E' 5.
Perche'?
E' 1, 2 in base 3.
OK, beh ovviamente, perche' 1 2 in base 3 e'
in pratica 3 piu' 2.
Successivo, continuiamo--
27.
Questo e' 1 2 3 in base 4, che e' 4 al quadrato piu' 2 per quattro piu'
3, che fa 27.
OK, e si continua cosi'.
Ecco come viene fuori la sequenza.
Il successivo sarebbe 1, 2, 3, 4 in base 5.
BRADY HARAN: E quello dopo 1, 2, 3, 4, 5 in base 6?
TONY PADILLA: Esatto.
E cosi' via.
Penso che questa sia un po' piu' banale.
Questa sequenza non mi smuove granche'...
BRADY HARAN: Non ho ancora indovinato la
tua preferita.
Penso--
TONY PADILLA: Non e' quella.
Vi daro' un indizio.
BRADY HARAN: OK.
TONY PADILLA: OK, andiamo avanti.
Tutto coi 7.
Credo sia la tua preferita, vero Brady?
BRADY HARAN: Devo ammetterlo, non so perche'--
non ne so ancora molto, ma mi intriga.
TONY PADILLA: OK.
Allora, cos'e' tutti 7?
Beh, fa quello che dice l'etichetta...
E' 7, 7, 7, 7, 7,eccetera.
BRADY HARAN: E' quindi solo una sequenza cosi', senza senso?
TONY PADILLA: E' una sequenza senza molto senso, ma
e' divertente.
Potete tirarci fuori qualcosa di matematico se vi sforzate abbastanza.
BRADY HARAN: Non sono piu' sicuro che sia la mia preferita.
TONY PADILLA: L'hai abbandonata?
BRADY HARAN: Pensavo che ci fosse sotto
una qualche equazione.
TONY PADILLA: OK, adesso viene l'ultima delle sequenze
che sono state nominate, e questi sono i numeri selvaggi.
Woo, promette bene.
OK, cosa sono i numeri selvaggi?
Sono 11, 67, 2.
Dovrebbero essercene un numero infinito,
ma cosa sono questi?
Cos'e' questa sequenza?
E' una sequenza completamente inventata
che viene dalla fiction.
C'era un signore chiamato Philibert Schogt--
spero di averlo pronunciato bene--
che scrisse un racconto su un matematico e risolse
un problema chiamato il problema dei numeri selvaggi.
Cos'e' il problema dei numeri selvaggi?
L'idea era che se prendete un numero intero qualsiasi,
applicate qualche..--
quelle che sono descritte come operazioni semplici a esso, cio'
trasforma quel numero in frazioni.
E poi continuate ad applicare queste operazioni
finche' non tornare a un numero intero di nuovo.
L'affermazione e' che quei numeri con cui finite
sono i numeri selvaggi.
E tutti quegli esempi di cui si era a conoscenza, questi
erano gli unici numeri che erano saltati fuori.
Quindi la somanda sarebbe, c'e' un numero infinito di
numeri selvaggi?
Ci sono numeri che non sono numeri selvaggi?
Nel libro, il 3 e' un numero 'addomesticato'.
E' stato dimostrato che questo non puo' essere mai raggiunto.
E quello che fa il protagonista della storia e'--
la sua idea che dimostra--
lui e' apparentemente un mediocre matematico
disilluso dalla sua carriera.
Ma dimostra che c'e' un'infinita' di
numeri selvaggi, che era un problema aperto da molto tempo.
C'e' qualche traccia interessante in letteratura
da parte dell'autore sulla matematica che ci sta dietro e sulle
idee che ci stanno dietro.
Lui ha scritto un racconto, ma questo ad esempio e' un articolo che parla del racconto.
Quindi ecco cosa ha fatto.
Dice qualcosa di abbastanza interessante, sull'idea
che ci fosse questo matematico mediocre che
finiva per risolvere l'ultimo teorema di Fermat, che
ovviamente all'epoca non era stato risolto.
Ora lo e' stato, da parte di Andrew Wiles, ma
all'epoca non lo era ancora.
E l'idea era appunto di un matematico senza pretese
che trova una dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat.
E OK, ha proposto l'idea a un matematico
suo amico e questi
l'ha subito cassata.
Disse che un matematico mediocre assolutamente
non sarebbe mai stato in grado di trovare--
di risolvere una dimostrazione problematica da tempo come quella.
Sarebbe dovuto essere per forza qualcuno che fosse un genio conclamato.
Ora, nel caso di Andrew Wiles e' vero
che si tratta di un genio che alla fine ha trovato una dimostrazione
per l'ultimo teorema di Fermat.
Ma di recente abbiamo fatto un fideo su un teorema
dei nuemeri primi, la congettura dei primi gemelli, e quella
e' stata risolta da uno che sicuramente non e' una star della matematica.
Quindi forse l'amico dell'autore e' stato un po' ingiusto qui..
Ma comunque ha dato all'autore il permesso di
inventare questi numeri selvaggi.
BRADY HARAN: Quindi ha inventato i numeri selvaggi invece che usare
l'ultimo teorema di Fermat.
TONY PADILLA: Esatto.
BRADY HARAN: E' un po' come una profezia che si auto-adempie
pero', no?
Se davvero uno risolve uno di questi teoremi, diventa un genio.
TONY PADILLA: Beh, in effetti.
Si.
BRADY HARAN: Quindi sara' sempre un genio.
TONY PADILLA: Si esatto.
Ma penso che il punto fosse che queste persone sarebbero state
notate prima, perche' avrebbero--
questi teoremi vengono costruiti poco a poco e ci si arriva poco a poco.
E la dimostrazione [INCOMPRENSIBILE].
BRADY HARAN: Me le hai mostrate tutte e sei allora?
TONY PADILLA: Si.
BRADY HARAN: Quale hai preferito?
TONY PADILLA: Per forza la costante di Khinchin, no?
La sua espansione decimale.
Voglio dire, quel numero e' semplicemente--
Sono sconvolto da quel numero e cio' che rappresenta.
Dovete afferrare bene questo-- quasi tutti i numeri, quando prendete questa
proprieta' che a che fare con l'espansione in frazioni continue,
quasi tutti i numeri vi restituiscono questa costante.
E' straordinario.
E' una cosa fantastica.
BRADY HARAN: Esclusi i numero che tu e io usiamo
circa ogni giorno.
TONY PADILLA: Ma quella e' una frazione cosi' piccola-- quella e' una
minuscola frazione di tutti i numeri che esistono.
E' un sottoinsieme a misura nulla per la precisione.
Quindi la gran parte dei numeri--
la stragrande maggioranza, ci danno indietro questo signore!
Pi greco lo fa.
Beh, questo e' cio' che pensiamo.
Quindi per me e' assolutamente incredibile.
Ed ecco perche' mi piace questo signore (la costante).
Come ho detto, se c'e' un numero che ha qualsiasi
cosa a che fare con la divinita', e' questo qui.
Mi pare di aver letto da qualche parte che se dovessimo mandare
delle informazioni agli alieni, dovremmo mandare--
e fossero di tipo numerico, dovremmo dire loro
di questa costante.
Questo numero mi piace davvero.
Pero' ho anche una sequenza personale che mi piace
di piu'.
Mi piacerebbe condividerla con te, Brady.
BRADY HARAN: Non ho idea di cosa sara'.
Aspettate, in realta' so cos'e'.
TONY PADILLA: OK, lasciamela scrivere, e poi
vedi se riesci a indovinarla, Brady.
BRADY HARAN: OK.
TONY PADILLA: [INAUDIBLE].
BRADY HARAN: Scrivila.