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JAMES GRIME: Oggi parleremo di una delle
domande che ci vengono poste spesso a Numberphile, e la
domanda e'-- beh, Brady, qual e' la domanda?
BRADY HARAN: La domanda e', perche' 0 fattoriale e' uguale a 1?
JAMES GRIME: Esatto.
Perche' 0 fattoriale e' uguale a 1?
Dunque cominciamo con un rapido ripasso di cosa
e' un fattoriale.
Per il nostro numero intero, prendiamo un numero n--
n fattoriale, che si scrive cosi'. n con un
punto esclamativo.
Questo e' uguale a.
Moltiplicare tutti i numeri interi minori
o uguali a n.
E' n moltiplicato per n meno 1 moltiplicato per n meno 2
moltiplicato per--
e si continua ad andare in giu', e si arrivera' fino a 3
per 2 per 1.
Un esempio veloce.
Calcoliamo 5 fattoriale.
5 per 4 per 3 per 2 per 1.
E si fa il conto.
Viene 120.
OK.
La domanda che ci hanno fatto e': cos'e' 0 fattoriale.
Dunque il modo in cui rispondere-- uno dei modi in cui si puo'
rispondere e' completando la sequenza.
Allora vediamo come si completa la sequenza.
Questa sequenza in particolare, 4 fattoriale, e' uguale a 5
fattoriale diviso per 5.
Una volta visto questo, se ora prendo 5 fattoriale qui e divido per
5, significa che posso levare questo 5,
e mi ritrovo con 4 fattoriale.
Quindi 5 fattoriale diviso per 5, o 120 diviso
per 5, fa 24.
Questo e' 4 fattoriale.
3 fattoriale sara' 4 fattoriale diviso per 4.
Che fa 24 diviso 4.
Che e' 6.
Questo e' il risultato di 3 fattoriale.
2 fattoriale, 3 fattoriale diviso 3, 6, che abbiamo
appena trovato, diviso 3, e' uguale a 2.
1 fattoriale.
Facciamolo ancora.
E' 2 fattoriale diviso 2.
2 fattoriale e' 2 diviso 2.
Abbiamo 2 diviso 2.
Che e' uguale a 1.
Ora qui e' dove le cose si fanno interessanti.
Non senti la suspence?
Quindi 0 fattoriale.
Stiamo per completare lo schema.
0 fattoriale e' uguale a 1 fattoriale diviso 1.
1 fattoriale e' 1.
E' 1 diviso per 1, che fa ancora 1.
Quindi 0 fattoriale fa 1.
Abbiamo completato la sequenza.
BRADY HARAN: Chi dice che la sequenza va completata?
Da dove viene questa regola?
JAMES GRIME: Non e' che debba essere a priori per forza
uno schema che si completa.
Sta di fatto che in questo caso la sequenza si completa e funziona.
Fammi provare un altro modo di spiegarlo.
BRADY HARAN: Fammi continuare con la sequenza prima.
Significa che meno 1 fattoriale sarebbe il successivo
della sequenza?
JAMES GRIME: Vediamo cosa succede.
Non sono sicuro di cosa succedera'.
Proviamo.
Meno 1 fattoriale.
Quindi cosa dovrei avere?
0 fattoriale diviso 0.
1 diviso 0.
BRADY HARAN: Oh, diviso per 0.
JAMES GRIME: Hai distrutto la matematica, Brady.
Piantala.
Un altro modo di spiegare cosa potrebbe essere 0 fattoriale.
n fattoriale e' il numero di modi in cui si possono
ordinare n oggetti.
Fammi provare a spiegarti cosa intendo.
Prendiamo degli oggetti.
Fammi prendere il portafoglio.
Tiro fuori delle monete.
Vedi?
Chi dice che i matematici non fanno un sacco di soldi?
Ci sono qui letteralmente 50 pounds (nel senso del peso).
Prendiamo anche una sterlina e una moneta da 5 pence {not sure here about coins}.
Abbiamo qui tre oggetti, e quanti modi ci sono di disporre
tre oggetti?
Ci sono 6 modi di farlo.
E' 3 fattoriale.
Controlliamoli subito.
Ecco uno, ecco il secondo, o possiamo avere quest'altro qui--
che fa tre, ecco il quarto.
O possiamo avere--
Penso fosse questa che non avevamo davanti.
Quindi fa cinque e sei.
Se ne togliamo una, rimaniamo con due oggetti.
Quanti modi ci sono di disporre due oggetti?
Ecco uno, ecco due.
Togliamone una.
quanti modi di disporre un oggetto?
Eccolo l'unico.
C'e' solo un modo di farlo.
Un modo di disporre un oggetto.
Ora togliamo l'ultima moneta.
Qui e' dove entriamo un po' nel filosofico.
Abbiamo zero oggetti.
Quanti modi ci sono di ordinare zero oggetti?
C'e' un solo modo di farlo.
Eccolo.
Vuoi vedermelo fare di nuovo?
Eccolo.
Un po' filosofico, ma diciamo che c'e' un modo di
disporre zero oggetti.
Quindi di nuovo, lo schema funziona.
0 fattoriale e' uguale a 1.
Per spingere l'idea un pochino oltre, se stiamo
parlando di fattoriali, proviamo a fare un grafico.
Diciamo che abbiamo uno, due, tre, quattro, cinque.
1 fattoriale fa 1, quindi se diciamo che qui e' 1.
2 fattoriale fa 2, quindi da qualche parte piu' o meno qui.
3 fattoriale fa 6.
Non so.
Da qualche parte cosi'.
4 fattoriale fa 24, quindi sara' abbastanza
in alto qui.
E poi 5 fattoriale andra' ben in alto.
Se uniamo questi assieme, ho anche detto che 0
fattoriale fa 1, quindi mi viene che il grafico e' questo.
Quindi in teoria, dovremmo essere in grado di ottenere i valori
in mezzo, come, per esempio, per il numero 1 e mezzo.
1 e mezzo fattoriale.
Cos'e' uno e mezzo fattoriale?
Dunque, i matematici lo hanno fatto.
Generalizzano l'idea.
Ed esiste l'idea di uno e mezzo fattoriale.
La chiamiamo Gamma.
E' la lettera greca gamma.
Diciamo "Gamma di ".
E il modo in cui lo scriviamo--
in effetti, ora diventa un po' piu' complicato.
Diaciamo che Gamma di n e' uguale all'integrale tra 0 e
infinito di--
diciamo--
t alla potenza n meno 1, moltiplicato per e alla potenza
meno n dn.
Qualcuno non sara' familiare con questo.
A qualcuno di voi suonera' familiare.
A qualcuno no.
E' un concetto matematico molto piu' complicato, ma l'idea e'
coerente con i fattoriali.
E vi da anche i valori in mezzo.
Rappresenta questa curva.
C'e' una cosa che devo precisare.
E' un po' sorprendente, ma se prendiamo un valore relativo a un numero intero
n, Gamma di n, e n e' intero, questo vi da in pratica
n meno 1 fattoriale, quindi attenti qui.
Questo potrebbe respingervi.
Bisogna soffrire un po' qui.
Ma quindi a cosa serve avere una funzione che vi restituisce
fattoriali in mezzo a numeri interi quando non ha senso l'idea di "disporre
1 oggetto e mezzo" ?
Beh e' una generalizzazione, e risulta essere molto
utile in molte occasioni.
In particolare, sto pensando alla probabilita'.
Potete usare queste funzioni in formule che trovate in (teoria della) probabilita'
quando pensate a tempi continui invece che
solo ordinare oggetti come in probabilita' discreta.
In quel caso ora iniziate a pensare a eventi continui.
Il tempo e' l'esempio migliore.
Poi iniziate a generalizzare le idee, e quindi
avete bisogno di un fattoriale generalizzato.
BRADY HARAN: 9, 6, and 3.
20.
44.