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Oggi conteremo l'infinito. Ora, contare può sembrare elementare come quando diciamo
di avere cinque pecore, ciò che intendiamo è che abbiamo una pecora per ciascun numero da uno a
cinque. E per dieci pecore intendiamo una per ciascun numero da uno a dieci….
Quindi diciamo che due sequenze hanno lo stesso numero di cose in loro, semplicemente se possiamo tracciare
una linea collegando ciascun oggetto in una sequenza con qualcosa nell'altra, e viceversa, esattamente una volta.
Sono compagni!
E' la stessa cosa di quando diciamo che due più uno fa tre, o che tre non è uguale a quattro:
stiamo solo descrivendo le linee che si tracciano per collegare una sequenza di cose ad un'altra. Ma ad ogni
modo, contare pecore è noioso, così è, a meno che tu non voglia contare un numero INFINITO di pecore.
Come, se tu avessi una pecora per ciascun numero tra 0 e 2, sarebbero di più di quelle che
avresti se ne avessi una per ogni numero tra 0 e 1? No! Perchè tu puoi collegare ciascun
numero tra 0 e 1 al suo doppio, ottenendo ciascun numero compreso tra 0 e 2 (e se vuoi
tornare "indietro", puoi dividere ciascun numero tra 0 e 2 a metà per riottenere
tutti i numeri tra 0 e 1).
Ma ci sono più numeri reali compresi tra 0 e 1 che quelli in una sequenza infinita di
numeri interi 1, 2, 3, 4, e così via. Come lo sappiamo? Tracciamo qualche linea. Per
l' "1", tracciamo una linea verso un numero tra 0 e 1. E per il "2", tracciamo una linea verso un altro numero
tra zero e uno. Per il "3", tracciamo una linea verso un numero tra... zero e uno. E così
via. MA, non importa a quali numeri tra 0 e 1 abbiamo tracciato delle linee, possiamo sempre
scrivere un numero tra 0 e 1 che differisce con la prima cifra qui, e la seconda
cifra qui, e la terza cifra qui, e così via… quindi questo nuovo numero sarà differente
da TUTTI gli altri numeri a cui abbiamo tracciato delle linee. Ma abbiamo già tracciato una linea per
ciascun numero intero, quindi non ne rimane nessuno per essere il compagno di questo numero!
Che cosa di più?, grazie al metodo intelligente con cui lo abbiamo costruito, possiamo trovare un ulteriore, numero solitario
come questo senza considerare quali altri numeri abbiamo scelto, il che significa che non possiamo MAI tracciare linee
dai numeri interi a tutti i numeri compresi tra 0 e 1 …
E questo significa che ci sono veramente più numeri reali tra 0 e 1 di quelli che ci sono
in una sequenza infinita di numeri interi 1, 2, 3, 4, e così via all'infinito.
Quindi, Hazel Grace, alcuni infiniti sono veramente più grandi di altri infiniti.