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Benvenuto alla presentazione sui sistemi di equazioni lineari.
Quindi iniziamo e vediamo di cosa si tratta.
Quindi diciamo che ora ho due equazioni.
La prima equazione fammela scrivere come
9x - 4y = -78.
E la seconda equazione la scrivo come
4x + y = -18.
Ora quello che faremo è in realtà utilizzare
entrambe le equazioni per risolvere x ed y.
Sappiamo già che se hai un'equazione
con una variabile è molto facile risolvere la variabile.
Ma ora abbiamo 2 equazioni.
Puoi quasi considerarli due vincoli.
E risolveremo entrambe le variabili.
E potresti essere un po' confuso.
Come funziona?
È magia che due equazioni possono risolvere
due variabili?
Beh, no.
Perché puoi effettivamente riorganizzare ciascuna di queste
equazioni in modo che tipo diventi un normale
y = mx + b.
E queste due equazioni non le disegno perché
non so come sono fatte, ma se questi fossero assi
di coordinate --- e non lo so com'e' fatta la prima retta,
potremmo fare un altro schema in cui lo capiamo ---
ma diciamo solo per amor di discussione che la prima retta, tutte le
x e y che soddisfano 9x - 4y = -78,
diciamo che e' fatta tipo cosi'.
E diciamo che tutte le x e y che soddisfano
la seconda equazione, 4x + y = -18, diciamo
che e' fatta tipo cosi'.
OK?
Quindi, sulla retta ci sono tutte le x e y che soddisfano questa
equazione e sulla retta verde ci sono tutte le x e y
che soddisfano questa equazione.
Ma c'è una sola coppia di x e y che soddisfa
entrambe le equazioni, e puoi indovinare dove sta,
e' questa qui.
Qualunque sia quel punto --- lo faccio in rosa per dargli enfasi ---
qualunque sia quel punto, nota che sta su entrambe le rette.
Quindi, qualunque siano x e y, quelle sarebbero la soluzione
per questo sistema di equazioni.
Quindi cerchiamo di capire veramente come fare.
Quindi quello che vogliamo fare è di eliminare una variabile, perché
se è possibile eliminare una variabile allora possiamo risolvere
quello che è rimasto.
E il modo per farlo --- vediamo, voglio eliminare,
mi va di eliminare questa y e penso che
intuirai come si fa in seguito.
E il modo in cui lo faccio è
fare in modo che quando sommo questa a questa, si annullino.
Beh, adesso ancora si annullano, quindi devo
moltiplicare l'equazione di sotto per 4 e penso che
sia ovvio perché lo faccio.
Quindi moltiplichiamo l'equazione di sotto per 4.
E ottengo 16x + 4y = 40 + 32 - 72.
Giusto?
Tutto quello che ho fatto è moltiplicare entrambi i lati
dell'equazione per 4, giusto?
E devi moltiplicare ogni termine perché
c'è la proprietà distributiva su entrambi i lati.
Qualunque cosa tu faccia da un lato devi farla per l'altro.
Fammi riscrivere di nuovo l'equazione di sopra.
E la scrivo nello stesso colore cosi' riusciamo
a tenere traccia delle cose.
9x - 4y = -78.
OK, bene ora, se dovessimo sommare queste due equazioni,
quando sommi equazioni, sommi semplicemente il lato sinistro
e sommi il lato destro.
Beh quando sommi, hai 16x + 9x.
Beh, questo equivale a 25x.
Giusto?
16 + 9.
4y - 4y corrisponde a 0.
Ecco, questo è + 0 = e poi abbiamo -72 -78.
Quindi, vediamo fa -150, -150, giusto?
Basta sommarli.
Quindi abbiamo 25x = 150.
Beh, potremmo dividere entrambi i lati per 25 o moltiplicare
entrambi lati per 1/25, è la stessa cosa.
E ottieni x = --- quello e' un -150 ---
x = -6.
Quindi abbiamo risolto la coordinata x.
Ora per risolvere la coordinata y possiamo semplicemente usare
una di queste equazioni in cima.
Quindi usiamo questa, mi sembra un po',
marginalmente più semplice.
Quindi dobbiamo solo sostituire la x e otteniamo
4 per -6 + y = -18.
Va qui.
4 per -6 otteniamo -24 + y = -18.
E quindi otteniamo y = 24 - 18.
Quindi y = 6.
Quindi queste due rette o queste due equazioni, potresti anche dire,
si intersecano nel punto x = -6 e y = +6.
Quindi in realtà si intersecano in un posto qui intorno.
Ho disegnato queste, la retta magari magari sembra tipo piu' una cosa cosi'.
Ma è piuttosto fico, no?
In realtà abbiamo risolto due variabili usando due equazioni.
Vediamo quanto tempo ho.
Penso che abbiamo abbastanza tempo per fare un altro problema.
Quindi diciamo che ho i punti --- e li scrivo
di nuovo in due colori diversi --- -7x - 4y = 9
e poi la seconda equazione sarà
x + 2y = 3.
Ora, per farlo il più velocemente possibile, probabilmente
moltiplicherei questa equazione per 7 e si annullerebbe
automaticamente.
Ma questo è il modo facile.
Ora ti mostro che alle volte
devi moltiplicare entrambe le equazioni --- in realtà, non in questo caso.
In realtà facciamolo nel modo veloce.
Quindi moltiplichiamo l'equazione di sotto per 7.
E la ragione per la quale voglio moltiplicare per 7
e' perché voglio che questo si annulli con questo.
Se lo moltiplichi per 7 ottieni 7x + 14y = 21.
Scriviamo di nuovo questa prima equazione.
-7x - 4y = 9.
Ora dobbiamo solo sommare.
Si tratta di un +7x, sembra sempre un negativo.
Ok, questo è 0.
14 - 4y + 10y = 30.
y = 3.
Ora dobbiamo solo sostituire in una delle due equazioni,
facciamo questa.
x + 2 per y, 2 per 3.
x + 6 = 3.
Otteniamo x = -3.
Questa era super facile.
L'intercetta.
Spero di non averla fatta troppo velocemente.
Beh, puoi mettere e riguardartelo se serve.
Ok, queste due rette si intersecano nel punto
(-3, 3).
Facciamone un altro.
Spero che questo sia più difficile.
Penso che lo sarà.
OK, -9y - 3x = 66.
Abbiamo -7x + 4y = -71.
Quindi qui non è ovvio.
Quello che dobbiamo fare è, diciamo che vogliamo annullare
prima la y.
Quello che facciamo è cercare di renderle entrambe pari
al minimo comune multiplo di 9 e 4.
Quindi, se moltiplichiamo l'equazione superiore per 4 otteniamo ----
lo faccio qui.
Moltiplichiamo per 4.
Per 4.
Otteniamo -12x - -36y =
4 per 240 + 24 fa 264.
Giusto, spero sia giusto.
Moltiplichiamo la seconda equazione per 9.
Quindi è -63x + 36y = vediamo, 639.
Grandi numeri.
639.
OK, ora sommiamo le due equazioni.
-12 - 63 fa -75x --- queste si annullano --- è uguale a
264, vediamo quanto fa 639 - 264.
Vedi lo faccio in tempo reale.
Non uso tipo un manuale con le soluzioni o roba del genere.
13 e 5, 70.
Non so se ho ragione, ma staremo a vedere.
Dato che questo e' -639 questo è
-375, e so che il 75 sta nel 300
4 volte, quindi x = 5.
75 x 5 fa 375.
Abbiamo solo diviso entrambi i lati per 75.
Quindi, se x è 5 la sostituiamo ---
utilizziamo questa equazione.
Così otteniamo -3 per 5 -9y = 66.
Otteniamo -15 - 9y = 66.
-9y = 81.
E poi otteniamo y = -9.
Quindi la risposta è (- 5, 9).
Penso che ora tu sia pronto a fare alcuni sistemi di equazioni.
Buon divertimento.