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Che cos'è una dimostrazione?
E perché è così importante in matematica?
Le dimostrazioni forniscono solide fondamenta per matematici,
logici, statistici, economisti, architetti, ingegneri,
e molti altri per costruire e verificare le loro teorie.
E sono semplicemente incredibili!
Fatemi cominciare dall'inizio.
Vi presenterò un tipo chiamato Euclide.
Come: "ti stanno guardando, Clid".
Visse in Grecia circa 2300 anni fa,
ed è considerato da molti il padre della geometria.
Perciò se ti stavi domandando a chi inviare la tua mail quale ammiratore della geometria
Euclide di Alessandria è il tipo da ringraziare per le dimostrazioni.
Euclide non è conosciuto per aver inventato o scoperto molto in matematica,
ma ha rivoluzionato il modo in cui viene scritta,
presentata e pensata.
Euclide ha cominciato a formalizzare la matematica stabilendo le regole del gioco.
Queste regole del gioco sono chiamate assiomi.
Una volta stabilite le regole,
Euclide dice che devi usarle per dimostrare quello che tu credi sia vero.
Se non ci riesci, allora il tuo teorema o la tua idea
potrebbero essere falsi.
E se il tuo teorema è falso, allora qualsiasi teorema che ne deriva e che ne fa uso
potrebbe essere falso.
Come quando una trave mal collocata può far crollare l'intera casa.
Ecco quindi che cosa sono le dimostrazioni:
si usano regole ben stabilite per dimostrare al di là di ogni ombra di dubbio che un qualche teorema è vero.
Quindi usiamo quei teoremi come blocchi
per costruire la matematica.
Facciamo un esempio.
Ammettiamo che io voglia dmostrare che questi due triangoli
hanno la stessa forma e la stessa dimensione.
In altre parole, che sono congruenti.
Bene, un modo per farlo è scrivere una dimostrazione
che provi che tutti e tre i lati di un triangolo
sono congruenti con tutti e tre i lati dell'altro triangolo.
Quindi, come lo dimostriamo?
Per prima cosa, scriverò ciò che conosco.
Sappiamo che il punto M è il punto medio di AB.
Sappiamo anche che i lati AC e BC sono già congruenti.
Ora, guardate. Che cosa ci dice il punto medio?
Fortunatamente, conosco la definizione di punto medio.
E' in pratica in punto che sta nel mezzo.
Ciò significa che AM e BM sono della stessa lunghezza
dato che M è esattamente a metà di AB.
In altre parole, il lato inferiore di ciascuno dei nostri triangoli è congruente.
Considererò questo come il punto due della dimostrazione.
Grandioso! Finora ho due coppie di lati che sono congruenti.
L'ultimo è facile.
Il terzo lato del triangolo a sinistra
è CM, e il terzo lato del triangolo a destra
è anch'esso CM.
Condividono lo stesso lato.
Ovvio che sia congruente a se stesso!
Questa è chiamata la proprietà riflessiva.
Ogni cosa è congruente a se stessa.
Lo considero come il punto tre.
Ta dah! Avete appena dimostrato che tutti i lati del triangolo di sinistra
sono congruenti ai tre lati di quello di destra.
Inoltre, i due triangoli sono congruenti
come conseguenza del teorema sulla congruenza lato-per-lato dei triangoli.
Quando termino una dimostrazione, mi piace fare come Euclide.
Segno la fine della dimostrazione con le lettere QED.
E' latino, "quod erat demostrandum",
che tradotto letteralmente significa
"come volevasi dimostrare".
Ma io lo interpreto come "guarda cosa ho appena fatto!".
Riesco a immaginare cosa state pensando:
perché dovrei studiare le dimostrazioni?
Un motivo è perché possono permettervi di vincere un dibattito.
Abraham Lincoln, uno dei leader più grandi del nostro paese di tutti i tempi
era solito tenere una copia degli Elementi di Euclide sul suo comodino
per mantenere la mente in forma.
Un altro motivo è perché potete vincere un milione di dollari.
Mi avete sentito.
Un milione di dollari.
E' il premio che il Clay Mathematics Institute di Massachussets
offre a chiunque riesca a dimostrare una delle molte teorie prive di dimostrazione
che vengono definitite "i problemi del millennio".
Un paio di queste teorie sono state risolte negli anni '90 del secolo scorso e nei primi anni del nostro secolo.
Ma oltre al denaro e ai ragionamenti
le dimostrazioni sono ovunque.
Sottendono l'architettura, l'arte, la programmazione informatica, la sicurezza di internet.
Se nessuno comprendesse o fosse in grado di generare una dimostrazione
non potremmo progredire in queste parti essenziali del nostro mondo.
Infine, sappiamo tutti che la dimostrazione è nel pudding.
E il pudding è delizioso. QED.